WikiSort.ru - Не сортированное

Тело сечений — конструкция, дающая тело для данного тела евклидова пространства.

Определение было дано Лютваком в 1988 году. Эта конструкция сыграла заметную роль в решении задачи Буземана — Петти.

Определение

Предположим, что ${\displaystyle K}$ — выпуклое симметричное тело в ${\displaystyle d}$ -мерном евклидовом пространстве. Тогда тело сечений для тела ${\displaystyle K}$ есть тело, ограниченное гиперповерхностью, образованной всеми векторами вида

${\displaystyle \mathop {S} (K\cap u^{\perp })\cdot u,}$

где ${\displaystyle u}$ — единичный вектор, ${\displaystyle u^{\perp }}$ — гиперплоскость, проходящая через начало координат и перпендикулярная ${\displaystyle u}$ , а ${\displaystyle \mathop {S} }$ — площадь, точнее ${\displaystyle (d-1)}$ -мерный объём.

Свойства

• Теорема Буземана. Для ${\displaystyle K}$ выпуклое симметричное тело в ${\displaystyle d}$ -мерном евклидовом пространстве с центром в начале координат, его тело сечений также выпуклое.

Литература

• Lutwak, Erwin (1988), "Intersection bodies and dual mixed volumes", Advances in Mathematics Т. 71 (2): 232–261, ISSN 0001-8708, doi:10.1016/0001-8708(88)90077-1, <https://dx.doi.org/10.1016/0001-8708(88)90077-1>