WikiSort.ru - Не сортированное

Псевдоголоморфная кривая (или J-голоморфная кривая) — гладкое отображение из Римановой поверхности в почти комплексное многообразие, удовлетворяющее уравнениям Коши — Римана.

История

Псевдоголоморфные кривые были введены в 1985 году Михаилом Громовым,  с тех пор они произвели революцию в изучении симплектических многообразий. В частности, теорема о симплектическом верблюде была доказана с использованием псевдоголоморфных кривых.

Они также используются в определении инвариантов Громова — Виттена (англ.), гомологий Флоера (англ.) и играют важную роль в теории струн.

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$ почти комплексное многообразие с почти комплексной структурой ${\displaystyle J}$ . Пусть ${\displaystyle C}$ гладкая риманова поверхность (также называется комплексной кривой) с комплексной структурой ${\displaystyle j}$ . Псевдоголоморфная кривая в ${\displaystyle X}$ представляет собой отображение ${\displaystyle f:C\to X}$ , которое удовлетворяет условию

${\displaystyle J\circ df=df\circ j,}$

То есть дифференциал ${\displaystyle df}$   комплексно-линейный.

Свойства

• Если псевдокомплексная структура ${\displaystyle J\colon T_{p}\to T_{p}}$ для симплектической формы с ассоциированной римановой метрикой ${\displaystyle g}$ то любая ${\displaystyle J}$ -голоморфная кривая является минимальной поверхностью.
  • Более того, любая ${\displaystyle J}$ -голоморфная кривая минимизирует площадь в своём гомологическом классе и ${\displaystyle \omega }$ является её калибровочной формой.

Список литературы

• Под редакцией Элиашберга Я. и Трейнора Л. Лекции по симплектической геометрии и топологии. — МЦНМО, 2008. — 424 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-130-8.
• Dusa McDuff and Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
• M. Gromov. Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds (англ.) // Inventiones Mathematicae. — 1985. — Vol. 82. — P. 307—347.
• Donaldson, Simon K. (October 2005). “What Is...a Pseudoholomorphic Curve?” (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 52 (9): pp.1026—1027. Проверено 2008-01-17.