WikiSort.ru - Не сортированное

Прямая Гаусса — прямая, соединяющая середины диагоналей четырёхугольника.

Теорема Гаусса

Если в четырёхугольнике две пары противоположных сторон не параллельны, то две середины его диагоналей лежат на прямой, которая проходит через середину отрезка, соединяющего точки пересечения этих противоположных сторон. Указанная прямая называется прямой Гаусса (на рисунке показана пунктиром).

Эквивалентная формулировка:

Если прямая, не проходящая через вершины треугольника ${\displaystyle ABC}$ , пересекает его стороны ${\displaystyle BC,CA,AB}$ соответственно в точках ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1}}$ , то середины отрезков ${\displaystyle AA_{1},BB_{1},CC_{1}}$ коллинеарны.

Свойства

• Прямая Гаусса перпендикулярна прямой Обера.
• На прямой Гаусса также лежит точка пересечения двух средних линий, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника (первая и вторая средние линии четырёхугольника).
• Теорема Анна, названная в честь французского математика Пьера Леона Анна (фр. Pierre-Léon Anne, 1806—1850), утверждает, что в любом четырёхугольнике ${\displaystyle ABCD}$ , не являющемся параллелограммом, прямая Гаусса является геометрическим местом точек ${\displaystyle O}$ , обладающих свойством:

  ${\displaystyle S(\triangle AOB)+S(\triangle COD)=S(\triangle BOC)+S(\triangle DOA)}$ ,

где ${\displaystyle S(\triangle AOB)}$ означает ориентированную площадь ${\displaystyle \triangle AOB}$ ^[1].

Формула

Если формулы прямых четырёхсторонника в декартовых координатах имеют вид

${\displaystyle a_{i}x+b_{i}y=c_{i},\quad i={\overline {1,4}}\,,}$

то соответствующая ему прямая Гаусса задаётся уравнением

${\displaystyle \det(D)\,x+\det(E)\,y={\frac {\det(F)}{2}},}$

где ${\displaystyle D=(d_{ij}),\,E=(e_{ij}),\,F=(f_{ij})}$  — матрицы размера ${\displaystyle 4\times 4,}$ в которых

${\displaystyle d_{i1}=e_{i1}=f_{i1}=a_{i}^{2},\quad d_{i2}=e_{i2}=f_{i2}=b_{i}^{2},\quad d_{i3}=e_{i3}=f_{i3}=a_{i}b_{i},}$

${\displaystyle d_{i4}=a_{i}c_{i},\quad e_{i4}=b_{i}c_{i},\quad f_{i4}=c_{i}^{2},\quad i={\overline {1,4}}.}$

См. также

• Теорема Ньютона
• Теорема Вариньона (геометрия)

Примечания

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 74. — ISBN 5-94057-170-0.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.