WikiSort.ru - Не сортированное

В теории категорий, лемма Йонеды (также лемма Йонеда) — это абстрактный результат о функторе Hom. Он является далеким обобщением теоремы Кэли в теории групп (если рассматривать группу как категорию из одного объекта). Лемма позволяет рассмотреть вложение произвольной категории в категорию функторов из неё в Set. Лемма Йонеды — важный инструмент, позволивший получить множество результатов в алгебраической геометрии и теории представлений.

Общий случай леммы

В произвольной (локально малой) категории для данного объекта A можно рассмотреть ковариантный функтор Hom, обозначаемый

${\displaystyle h^{A}=\mathrm {Hom} (A,-).}$

Пусть F — произвольный функтор из C в Set. Лемма Йонеды утверждает, что:

для любого объекта A категории C, естественные преобразования из h^A в F находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами F(A):

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},F)\cong F(A).}$

Для данного естественного преобразования Φ из h^A в F соответствующий элемент F(A) — это ${\displaystyle u=\Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})}$ , то есть естественное преобразование однозначно определяется образом тождественного морфизма.

Контравариантная версия леммы Йонеды рассматривает контравариантный функтор

${\displaystyle h_{A}=\mathrm {Hom} (-,A),}$

отправляющий X во множество Hom(X, A). Для произвольного контравариантного функтора G из C в Set

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},G)\cong G(A).}$

Замечание: для запоминания индексов удобно использовать мнемоническое правило «падать во что-то» при рассмотрении морфизмов в зафиксированный объект.

Доказательство

Доказательство леммы Йонеды представлено на следующей коммутативной диаграмме:

Диаграмма показывает, что естественное преобразование Φ полностью определяется ${\displaystyle \Phi _{A}(\mathrm {id} _{A})=u}$ , так как для любого морфизма f : A → X

${\displaystyle \Phi _{X}(f)=(Ff)u.}$

Более того, эта формула задаёт естественное преобразование для любого u∈F(A) (так как диаграмма коммутативна). Доказательство контравариантного случая совершенно аналогично.

Вложение Йонеды

Частный случай леммы Йонеды — когда функтор F также является функтором Hom. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h^{A},h^{B})\cong \mathrm {Hom} (B,A).}$

Отображение каждого объекта A категории C в соответствующий hom-функтор h^A = Hom(A, -) и каждый морфизм f : B → A в соответствующее естественное преобразование Hom(f, -) задает контравариантный функтор h^- из C в Set^C, либо ковариантный функтор

${\displaystyle h^{-}\colon {\mathcal {C}}^{\text{op}}\to \mathbf {Set} ^{\mathcal {C}}.}$

В этой ситуации лемма Йонеды утверждает, что h^- — вполне унивалентный функтор, то есть задает вложение C^op в категорию функторов в Set.

В контравариантном случае по лемме Йонеды

${\displaystyle \mathrm {Nat} (h_{A},h_{B})\cong \mathrm {Hom} (A,B).}$

Следовательно, h_- задает вполне унивалентный ковариантный функтор (вложение Йонеды)

${\displaystyle h_{-}\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} ^{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}.}$

Литература

• Freyd, Peter (1964), Abelian categories (2003 reprint ed.), Harper's Series in Modern Mathematics, Harper and Row, <http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/3/tr3abs.html> .
• С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.