WikiSort.ru - Не сортированное

Плоскость Немыцкого — общетопологический пример совершенного пространства, не являющегося нормальным^[1]. Обозначается, как правило, ${\displaystyle L}$ .

Определена Александровым и Хопфом в 1935 году и используется в курсах по общей топологии как «универсальный контрпример»^[2]: дидактическая ценность её в том, что благодаря простоте построения плоскость Немыцкого может быть наглядно представлена студентам на первых же лекциях по общей топологии, и в дальнейшем использоваться как сквозной пример для всего курса.

Построение

Строится как подпространство плоскости с точками ${\displaystyle (x;y)}$ , где ${\displaystyle y\geqslant 0}$ с изменением топологии в точках ${\displaystyle (x;0)}$ : база окрестностей таких точек — открытые круги ${\displaystyle B(x,\epsilon )}$ и сама точка ${\displaystyle (x;0)}$ , где ${\displaystyle B(p,r)}$  — круг радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в точке ${\displaystyle p}$ .

Отсутствие нормальности вытекает из такого же наглядного замечания, как и в случае с квадратом стрелки: ${\displaystyle L}$  — сепарабельное пространство с несчётным замкнутым дискретом (ось абсцисс имеет даже мощность континуума).

Свойства

Плоскость Немыцкого является связным, сепарабельным (${\displaystyle d(L)=\omega }$ ) и нелинделёфовым (${\displaystyle l(L)=2^{\omega }}$ ), вещественно полным пространством^[3]. Его клеточность и характер счётны (${\displaystyle c(L)=\omega }$ , ${\displaystyle \chi (L)=\omega }$ ), а вес — несчётен (${\displaystyle w(L)=2^{\omega }}$ ). При этом не является счётно паракомпактным^[4], слабо паракомпактным^[5], локально компактным пространством.

Примечания

Литература

• Энгелькинг, Рышард. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — С. 48,50,54,60,63,68,86,118,122,293. — 752 с.