WikiSort.ru - Не сортированное

Объём

Объём n-мерного шара радиуса R в n-мерном евклидовом пространстве:^[1]

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}R^{n},}$

где Γ — это эйлеровская гамма-функция (которая является расширением факториала на поле нецелых действительных и комплексных чисел). Используя частные представления гамма-функции для целых и полуцелых значений, можно получить формулы объёма n-мерного шара, которые не требуют гамма-функции:

${\displaystyle V_{2k}(R)={\frac {\pi ^{k}}{k!}}R^{2k}}$ ,

${\displaystyle V_{2k+1}(R)={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}={\frac {2(k!)(4\pi )^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1}}$ .

В формуле для пространства с нечётным количеством размерностей двойной факториал (2k + 1)!! определён для нечётных чисел 2k + 1 в виде произведения: (2k + 1)!! = 1 · 3 · 5 · … · (2k − 1) · (2k + 1).

Обратная функция для выражения зависимости радиуса от объёма:

${\displaystyle R_{n}(V)={\frac {\Gamma (n/2+1)^{1/n}}{\sqrt {\pi }}}V^{1/n}}$ .

Эта формула также может быть разделена на две: для пространств с чётным и нечётным количеством размерностей, используя факториал и двойной факториал вместо гамма-функции:

${\displaystyle R_{2k}(V)={\frac {(k!V)^{1/2k}}{\sqrt {\pi }}}}$ ,

${\displaystyle R_{2k+1}(V)=\left({\frac {(2k+1)!!V}{2^{k+1}\pi ^{k}}}\right)^{1/(2k+1)}}$ .

Рекурсия

Формулу объёма также можно выразить в виде нескольких рекурсивной функций. Эти формулы могут быть доказаны непосредственно или выведены из основной формулы, представленной выше. Проще всего выразить объём n-мерного шара через объём шара размерности ${\displaystyle n-2}$ (при условии, что они имеют одинаковый радиус):

${\displaystyle V_{n}(R)={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}(R)}$ .

Также существует формула объёма n-мерного шара в зависимости от объёма (n−1)-мерного шара того же радиуса:

${\displaystyle V_{n}(R)=R{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}V_{n-1}(R)}$ .

То же без гамма-функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}(R)&=R\pi {\frac {(2k-1)!!}{2^{k}k!}}V_{2k-1}(R)=R\pi {\frac {(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}{(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}}V_{2k-1}(R),\\V_{2k+1}(R)&=2R{\frac {2^{k}k!}{(2k+1)!!}}V_{2k}(R)=2R{\frac {(2k)(2k-2)\cdots 6\cdot 4\cdot 2}{(2k-1)(2k-3)\cdots 5\cdot 3\cdot 1}}V_{2k}(R).\end{aligned}}}$

Пространства младших размерностей

Формулы объёма для некоторых пространств младших размерностей:

Кол-во измерений	Объём шара радиуса R	Радиус шара объёма V
0	${\displaystyle 1}$	(все 0-шары имеют единичный объём)
1	${\displaystyle 2R}$	${\displaystyle V/2}$
2	${\displaystyle \pi R^{2}}$	${\displaystyle {\frac {V^{1/2}}{\sqrt {\pi }}}}$
3	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}R^{3}}$	${\displaystyle \left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{1/3}}$
4	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}}$	${\displaystyle {\frac {(2V)^{1/4}}{\sqrt {\pi }}}}$
5	${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}}$	${\displaystyle \left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{1/5}}$
6	${\displaystyle {\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}}$	${\displaystyle {\frac {(6V)^{1/6}}{\sqrt {\pi }}}}$
7	${\displaystyle {\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}}$	${\displaystyle \left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{1/7}}$
8	${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}}$	${\displaystyle {\frac {(24V)^{1/8}}{\sqrt {\pi }}}}$
9	${\displaystyle {\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}}$	${\displaystyle \left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{1/9}}$
10	${\displaystyle {\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}}$	${\displaystyle {\frac {(120V)^{1/10}}{\sqrt {\pi }}}}$

Пространства старших размерностей

При стремлении количества размерностей к бесконечности объём шара единичного радиуса стремится к нулю. Это может быть выведено из рекурсивного представления формулы объёма.