WikiSort.ru - Не сортированное

Нормальные координаты — локальная система координат в окрестности точки риманова многообразия (или, более общо, многообразиая с аффинной связностью) полученная из координат на касательном пространстве в данной точке примененим экспоненциального отображения.

В базовой точке нормальной системы координат символы Кристоффеля обнуляются; это часто упрощает вычисления.

Построение

Пусть ${\displaystyle M}$ есть гладкое многообразие с аффинной связностью и ${\displaystyle \exp _{p}\colon T_{p}\to M}$ есть соответственное экспоненциальное отображение. Тогда нормальные координаты точки ${\displaystyle x=\exp _{p}v}$ считаются равными координатам вектора ${\displaystyle v}$ в касательном пространстве ${\displaystyle T_{p}}$ .

Выбор последних координат произволен, в частности для риманова многообразия можно предположить, что координаты прямоугольные.

Замечания

• Нормальные координаты определены в пределах радиуса инъективности базовой точки ${\displaystyle p}$ .

Свойства

• Символы Кристоффеля обнуляются вбазовой точек нормальных координат.

• Лемма Гаусса утверждает, что малые координатные сферы с центром в начале координат являются метрическими сферами и они остаются перпендикулярными геодезическим исходящим из базовой точки.

Вариации и обобщения

• Нормальные координаты на финслеровых многообразий не гладки в нуле, поскольку экспоненциальное отображение на финслеровых многообразия не является дважды дифференцируемым в нуле.^[1]

Примечания