WikiSort.ru - Не сортированное

Неравенство Бишопа — Громова — теорема сравнения в римановой геометрии. Является ключевым утверждением в доказательстве теоремы Громова о компактности^[1].

Неравенство названо в честь Ричарда Бишопа и Михаила Громова.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle M}$  — полное n-мерное риманово многообразие с ограниченной снизу кривизной Риччи, то есть

${\displaystyle \mathrm {Ric} \geqslant (n-1)K}$

для постоянной ${\displaystyle K\in \mathbb {R} }$ .

Обозначим через ${\displaystyle B(p,r)_{M}}$ шар радиуса r вокруг точки p, определенный по отношению к римановой функции расстояния.

Пусть ${\displaystyle \mathbb {M} ^{n}(K)}$ обозначает n-мерное модельное пространство. То есть ${\displaystyle \mathbb {M} ^{n}(K)}$  — полное n-мерное односвязное пространство постоянной секционной кривизны ${\displaystyle K}$ . Таким образом,

• ${\displaystyle \mathbb {M} ^{n}(K)}$ является n-сферой радиуса ${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$ , если ${\displaystyle K>0}$ , или
• n-мерным евклидовым пространством, если ${\displaystyle K=0}$ , или
• пространством Лобачевского с кривизной ${\displaystyle K<0}$ .

Тогда для любых ${\displaystyle p\in M}$ и ${\displaystyle {\tilde {p}}\in \mathbb {M} ^{n}(K)}$ функция

${\displaystyle \phi (r)={\frac {\operatorname {Vol} B(p,r)_{M}}{\operatorname {Vol} B({\tilde {p}},r)_{\mathbb {M} ^{n}(K)}}}}$

не возрастает в интервале ${\displaystyle (0,\infty )}$ .

См. также

• Теорема Майерса

Примечания