Мультиоператорная группа — произвольная алгебра, снабжённая групповой структурой, обобщающая понятия группы, кольца, тела, операторной группы[en] (которая, в свою очередь, обобщает модули над кольцами, в частности, векторные пространства).
Введена в 1956 году английским математиком Филипом Хиггинсом[1][2] как наиболее универсальная структура, в которой всякая конгруэнция представляется разложением на смежные классы по идеалам, а также для которой может быть определено понятие коммутанта.
Другие примеры мультиоператорых групп — почтикольцо и почтиполе[en]. Также изучены специальные универсальные классы мультиоператорных групп — мультиоператорные кольца и мультиоператорные алгебры .
Мультиоператорная группа или -группа — алгебра , образующая группу , притом для всякой -арной операции выполнено , то есть образует подсистему в . Принимается, что часть сигнатуры не содержит нульарных операций. Иногда мультиоператорная группа называется по своей дополнительной сигнатуре — -группа.
Нормальная подгруппа группы называется идеалом мультиоператорной группы , если для любой -арной операции , произвольных ( ) и все элементы вида:
вновь принадлежат . Может использоваться обозначение по аналогии с обозначениями нормальной подгруппы и идеала кольца. Мультиоператорная группа называется простой, если у неё существует только два идеала — сама группа и нулевая подгруппа.
Коммутатор элементов мультиоператорной группы определяется как элемент , обозначается .
Коммутант мультиоператорной группы — идеал, порождённый всеми коммутаторами и элементами вида:
для всякой -арной операции из дополнительной сигнатуры мультиоператорной группы.
Для групп идеал мультиоператорной группы совпадает с понятием нормальной подгруппы, а для колец и структур на их основе — с понятием двустороннего идеала.
Всякий идеал мультиоператорной группы является её подсистемой. Пересечение любой системы идеалов мультиоператорной группы вновь является её идеалом, притом этот идеал совпадает с подгруппой группы , порождённой этими идеалами.
Основное свойство идеала — всякая конгруэнция на мультиоператорной группе описывается разложениями на смежные классы по некоторому идеалу, иными словами, о факторсистеме мультиоператорной группы (мультиоператорной факторгруппе) можно говорить как о конструкции, производящей новую мультиоператорную группу по её идеалу.
Мультиоператрное кольцо — мультиоператорная группа , аддитивная группа которой абелева и каждая -арная операция дистрибутивна относительно группового сложения:
для любых .
Мультиоператорная алгебра — мультиоператорное кольцо, все унарные операции дополнительной сигнатуры которой образуют поле , притом структура является векторным пространством над этим полем и для всех , всех -арных операций арности больше единицы и произвольных элементов выполнено:
Как и другие мультиоператорные структуры, в тексте часто идентифицируется дополнительной сигнатурой: мультиоператорная -алгебра (в данном случае и для избежания неоднозначности между алгеброй над кольцом, специальным обобщением которой является, и алгеброй в универсальном смысле).
Идеалами мультиоператорных колец и алгебр являются подгруппы , в которых наличие элемента влечёт содержание в них также всех элементов вида [3].
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .