Лине́йная интерполя́ция — интерполяция алгебраическим двучленом P1 (x) = ax + b f x0 x1 [a, b] кусочно-линейной функцией .
Геометрически это означает замену графика функции
f
{\displaystyle f}
прямой, проходящей через точки
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
{\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}
и
(
x
1
,
f
(
x
1
)
)
{\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))}
.
График: пример линейной интерполяции Уравнение такой прямой имеет вид:
y
−
f
(
x
0
)
f
(
x
1
)
−
f
(
x
0
)
=
x
−
x
0
x
1
−
x
0
{\displaystyle {\frac {y-f(x_{0})}{f(x_{1})-f(x_{0})}}={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}
отсюда для
x
∈
[
x
0
,
x
1
]
{\displaystyle x\in [x_{0},x_{1}]}
f
(
x
)
≈
y
=
P
1
(
x
)
=
f
(
x
0
)
+
f
(
x
1
)
−
f
(
x
0
)
x
1
−
x
0
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle f(x)\approx y=P_{1}(x)=f(x_{0})+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0})}
Это и есть формула линейной интерполяции , при этом
f
(
x
)
=
P
1
(
x
)
+
R
1
(
x
)
{\displaystyle f(x)=P_{1}(x)+R_{1}(x)\quad }
где
R
1
(
x
)
{\displaystyle R_{1}(x)}
— погрешность формулы:
R
1
(
x
)
=
f
″
(
ψ
)
2
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
,
ψ
∈
[
x
0
,
x
1
]
{\displaystyle R_{1}(x)={\frac {f''(\psi )}{2}}(x-x_{0})(x-x_{1}),\quad \psi \in [x_{0},x_{1}]}
Справедлива оценка
|
R
1
(
x
)
|
⩽
M
2
2
max
|
(
x
−
x
0
)
(
x
−
x
1
)
|
=
M
2
h
2
8
,
M
2
=
max
[
x
0
,
x
1
]
|
f
″
(
x
)
|
,
h
=
x
1
−
x
0
.
{\displaystyle |R_{1}(x)|\leqslant {\frac {M_{2}}{2}}\max |(x-x_{0})(x-x_{1})|={\frac {M_{2}h^{2}}{8}},\quad M_{2}=\max _{[x_{0},x_{1}]}|f''(x)|,\quad h=x_{1}-x_{0}.}
можно записать P(x) = ax + b
P
(
x
)
=
(
a
b
)
(
x
1
)
{\displaystyle P(x)={\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\\\end{pmatrix}}}
условия будут записаны так:
(
a
b
)
(
x
0
x
1
1
1
)
=
(
P
0
P
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}&x_{1}\\1&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P_{0}&P_{1}\\\end{pmatrix}}}
отсюда можно найти:
(
a
b
)
=
(
P
0
P
1
)
(
x
0
x
1
1
1
)
−
1
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}P_{0}&P_{1}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}&x_{1}\\1&1\\\end{pmatrix}}^{-1}}
P
(
x
)
=
(
P
0
P
1
)
(
x
0
x
1
1
1
)
−
1
(
x
1
)
{\displaystyle P(x)={\begin{pmatrix}P_{0}&P_{1}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}&x_{1}\\1&1\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}x\\1\\\end{pmatrix}}}
P
(
x
,
y
)
=
(
P
0
P
1
P
2
)
(
x
0
x
1
x
2
y
0
y
1
y
2
1
1
1
)
−
1
(
x
y
1
)
{\displaystyle P(x,y)={\begin{pmatrix}P_{0}&P_{1}&P_{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}&x_{1}&x_{2}\\y_{0}&y_{1}&y_{2}\\1&1&1\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\\\end{pmatrix}}}
P
(
x
,
y
,
z
)
=
(
P
0
P
1
P
2
P
3
)
(
x
0
x
1
x
2
x
3
y
0
y
1
y
2
y
3
z
0
z
1
z
2
z
3
1
1
1
1
)
−
1
(
x
y
z
1
)
{\displaystyle P(x,y,z)={\begin{pmatrix}P_{0}&P_{1}&P_{2}&P_{3}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}&x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{0}&y_{1}&y_{2}&y_{3}\\z_{0}&z_{1}&z_{2}&z_{3}\\1&1&1&1\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\\\end{pmatrix}}}
![x \in [x_0, x_1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b72f9f14516b44b0a27ae1f019a438a3a6d0ccd)
![R_1(x) = \frac{f''(\psi)}{2}(x - x_0)(x - x_1),\quad \psi \in [x_0, x_1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d14ef042e12da2baf2eb844dffb877e1ac4af5)
![{\displaystyle |R_{1}(x)|\leqslant {\frac {M_{2}}{2}}\max |(x-x_{0})(x-x_{1})|={\frac {M_{2}h^{2}}{8}},\quad M_{2}=\max _{[x_{0},x_{1}]}|f''(x)|,\quad h=x_{1}-x_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55eedfedf584f4061b710c397d3d1b3dccedebbe)
