В математике кривая Осгуда — это самонепересекающаяся кривая (кривая или дуга Жордана) с положительной площадью[1]. Более формально, это кривые на евклидовой плоскости с положительной двумерной мерой Лебега.
Истории
Первые примеры таких кривых были найдены Осгудом[2] и Лебегом[3]. Оба примера имеют положительную площадь в некоторых частях кривых, но нулевую площадь в других частях. Этот недостаток была исправлен Кноппом[4], который нашёл кривую, имеющую положительную площадь вблизи каждой её точки, основываясь на более ранних построениях Вацлава Серпинского. Пример Кноппа имеет дополнительные преимущества в том, что при построении площадь может составлять любую часть площади выпуклой оболочки [5].
Фрактальное построение
Хотя большинство заполняющих пространство кривых не являются кривыми Осгуда (они имеют положительную площадь, но, зачастую, бесконечное число раз пересекают себя, что нарушает определение кривой Жордана), можно модифицировать рекурсивное построение заполняющих пространство кривых или фрактальных кривых, чтобы получить кривую Осгуда[6]. Например, построение Кноппа использует рекурсивное разделение треугольников на пары меньших треугольников, имеющих общую вершину, путём удаления клиньев. Если удаляемые клинья на каждом уровне построения составляют не меняющуюся (дробную) часть площади треугольников, в результате получим фрактал Чезаро, подобный кривой Коха, но при удалении клиньев, площади которых уменьшаются быстрее, получаем кривую Осгуда [5].
Построение Данжуа — Риса
Другой путь построения кривой Осгуда — это использование двумерной версии множества Смита — Волтерра — Кантора[en], полностью разъединённого множества точек с ненулевой площадью, к которой применяется теорема Данжуа — Риса[en], согласно которой любое ограниченное и вполне несвязное подмножество плоскости является подмножеством жордановой кривой[7].
Примечания
- ↑ Radó (1948).
- ↑ Osgood, 1903.
- ↑ Lebesgue, 1903.
- ↑ Knopp, 1917.
- 1 2 Knopp, 1917; Sagan, 1994, Секция 8.3, Кривые Осгуда Серпинского и кноппа, pp. 136–140.
- ↑ Knopp, 1917; Lance, Thomas, 1991; Sagan, 1993).
- ↑ Balcerzak, Kharazishvili, 1999.
Литература
- M. Balcerzak, A. Kharazishvili. On uncountable unions and intersections of measurable sets // Georgian Mathematical Journal. — 1999. — Т. 6, вып. 3. — С. 201–212. — DOI:10.1023/A:1022102312024..
- K. Knopp. Einheitliche Erzeugung und Darstellung der Kurven von Peano, Osgood und von Koch // Archiv der Mathematik und Physik. — 1917. — Т. 26. — С. 103–115.
- Timothy Lance, Edward Thomas. Arcs with positive measure and a space-filling curve // American Mathematical Monthly. — 1991. — Т. 98, вып. 2. — С. 124–127. — DOI:10.2307/2323941.
- H. Lebesgue. Sur le problème des aires (фр.) // Bulletin de la Société Mathématique de France. — 1903. — Vol. 31. — P. 197–203.
- William F. Osgood. A Jordan Curve of Positive Area // Transactions of the American Mathematical Society. — 1903. — Т. 4. — С. 107–112. — ISSN 0002-9947. — DOI:10.1090/S0002-9947-1903-1500628-5.
- Tibor Radó. Length and Area. — American Mathematical Society, New York, 1948. — С. 157. — (American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 30).
- Hans Sagan. A geometrization of Lebesgue’s space-filling curve // The Mathematical Intelligencer. — 1993. — Т. 15, вып. 4. — С. 37–43. — DOI:10.1007/BF03024322.
- Hans Sagan. Space-filling curves. — Springer-Verlag, 1994. — (Universitext). — ISBN 0-387-94265-3. — DOI:10.1007/978-1-4612-0871-6.
Ссылки
- Robert Dickau. Knopp's Osgood Curve Construction. — Wolfram Demonstrations Project, 2013.
 | Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .