WikiSort.ru - Не сортированное

Класс Тодда — это некоторая конструкция, которая ныне считается частью теории характеристических классов в алгебраической топологии. Класс Тодда векторного расслоения можно определить посредством теории классов Чженя и они встречаются там, где классы Чженя существуют — в первую очередь в дифференциальной топологии, теории комплексных многообразий и алгебраической геометрии. Грубо говоря, класс Тодда действует противоположно классу Чженя и относится к нему как конормальное расслоение относится к нормальному расслоениию.

Классы Тодда играют фундаментальную роль в обобщении классической теоремы Римана — Роха на пространства более высоких размерностей до теоремы Хирцебруха — Римана — Роха^[en] и теоремы Гротендика — Хирцебруха — Римана — Роха^[en].

История

Класс назван по имени Дж. А. Тодда^[en], который ввёл специальный случай понятия в алгебраической геометрии в 1937 до того, как были определены классы Чженя. Использованная геометрическая идея иногда называется классом Тодда — Эгера.

Общее определение в более высоких размерностях принадлежит Хирцебруху.

Определение

Чтобы определить класс Тодда td(E), где E — это комплексное векторное расслоение на топологическом пространстве X, обычно достаточно ограничиться определением на случай суммы Уитни линейных расслоений^[en] при помощи общих понятий теории характеристических классов, использования корней Чженя (он же принцип расщепления^[en]). Пусть

${\displaystyle Q(x)={\frac {x}{1-e^{-x}}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}B_{i}}{i!}}x^{i}=1+{\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{12}}-{\dfrac {x^{4}}{720}}+\cdots }$

является формальным степенным рядом со свойством, что коэффициенты при xⁿ в Q(x)ⁿ⁺¹ равны 1 (здесь B_i — числа Бернулли). Рассмотрим коэффициент при x^j в произведении

${\displaystyle \prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}x)\ }$

для любого m > j. Этот коэффициент симметричен по β_i и однороден по весам j, так что его можно выразить как многочлен ${\displaystyle td_{j}(p_{1},\dots ,p_{j})}$ от элементарных симметричных функций^[en] p от β. Тогда ${\displaystyle td_{j}}$ определяют многочлены Тодда и они образуют мультипликативную последовательность^[en] с Q в качестве характеристического степенного ряда.

Если E имеет α_i в качестве корней Чженя, то класс Тодда

${\displaystyle td(E)=\prod Q(\alpha _{i})}$

который следует вычислять в когомологическом кольце^[en] топологического пространства X (или в его дополнении, если рассматриваются бесконечномерные многообразия).

Класс Тодда можно задать явно как формальный степенной ряд в классах Чженя следующим образом:

${\displaystyle td(E)=1+c_{1}/2+(c_{1}^{2}+c_{2})/12+c_{1}c_{2}/24+(-c_{1}^{4}+4c_{1}^{2}c_{2}+c_{1}c_{3}+3c_{2}^{2}-c_{4}/720+\dots }$

где классы когомологий c_i являются классами Чженя на E и лежат в группе когомологий ${\displaystyle \mathrm {H} ^{2i}(X)}$ . Если X имеет конечную размерность, то большинство членов равны нулю и td(E) является многочленом в классах Чженя.

Свойства класса Тодда

Класс Тодда мультипликативен:

${\displaystyle Td^{*}(E\oplus F)=Td^{*}(E)\cdot Td^{*}(F).}$

Пусть ${\displaystyle \xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})}$ является фундаментальным классом гиперплоского сечения. Из мультиплиативности и эйлеровой точной последовательность^[en] для касательного расслоения ${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{n+1}\to T{\mathbb {C} }P^{n}\to 0,}$

получаем ^[1]

${\displaystyle Td^{*}(T{\mathbb {C} }P^{n})=\left({\dfrac {\xi }{1-e^{-\xi }}}\right)^{n+1}.}$

Формула Хирцебруха — Римана — Роха

Для любого когерентного пучка F на гладком проективном комплексном многообразии M, имеем

${\displaystyle \chi (F)=\int _{M}Ch^{*}(F)\wedge Td^{*}(TM),}$

где ${\displaystyle \chi (F)}$  — его голоморфная эйлерова характеристика^[en],

${\displaystyle \chi (F):=\sum _{i=0}^{{\text{dim}}_{\mathbb {C} }M}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\mathbb {C} }H^{i}(F),}$

и Ch^*(F) — его характер Чженя.

См. также

Род мультипликативной последовательности

Примечания

Литература

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.