В истории математики словосочетание итальянская школа алгебраической геометрии относится к работам на протяжении более чем полувекового периода (расцвет пришёлся примерно на 1885—1935) учёных разных стран в области бирациональной геометрии, в частности, теории алгебраических поверхностей. Было примерно 30 — 40 ведущих математиков, которые внесли наибольший вклад в эти труды, из которых примерно половина действительно была итальянцами. Лидерами в этой школе считались римские математики Гвидо Кастельнуово, Федериго Энрикес и Франческо Севери, работы которых содержали глубокие открытия и определили стиль научной школы.
Особое внимание к алгебраическим поверхностям — алгебраическим многообразиям размерности 2 — было вызвано построением полной геометрической теории алгебраических кривых (размерности 1): около 1870 было выяснено, что теория кривых вместе с теорией Брилля — Нётера влечёт теорему Римана — Роха и все её уточнения (через геометрию тета-дивизора).
Классификация алгебраических поверхностей была храброй и успешной попыткой повторить классификацию кривых по их роду g. Она соответствует грубой классификации: g= 0 (проективная прямая); g = 1 (эллиптическая кривая); и g > 1 («кренделя» с независимыми голоморфными 1-формами). В случае поверхностей классификация Энрикеса была делением на пять подобных больших классов, три из которых были аналогами классов кривых, а ещё два — эллиптические расслоения и K3-поверхности, как их называют теперь — являются вместе с двумерными абелевыми многообразиями «промежуточной территорией». Эта классификация привела к жизни некоторое количество знаковых идей, сформулированных на современном языке комплексных многообразий Кунихико Кодаирой в 1950-х, и улучшена, чтобы включить явления, возникающие в простой характеристике Оскаром Зарисским, школой Шафаревича и другими около 1960. Версия теоремы Римана — Роха для поверхностей также была получена.
Некоторые доказательства, полученные в рамках итальянской школы, ныне не считаются удовлетворительными по причинам трудностей в основаниях этой науки. Таковым является, например, частое использование итальянскими математиками бирациональных реализаций в размерности три поверхностей, которые имеют неособые реализации только в проективных пространствах большей размерности. Чтобы обойти эти вопросы, были разработаны изощрённые методы работы с линейными системами дивизоров (фактически, теория линейных расслоений для гиперплоских сечений предполагаемых вложений в проективные пространства). Много современных техник было обнаружено в зачаточном виде, и во многих случаях внятное проговаривание этих идей превысило технические возможности языка.
Согласно Гверраджио и Настаси (стр. 9, 2005) Луиджи Кремона «считается основателем итальянской школы алгебраической геометрии». Позже они объясняют, что в Турине сотрудничество Д’Овидио и Коррадо Сегре «привело усилиями их или их учеников, итальянскую алгебраическую геометрию к полной зрелости». Ученик Серге, Г. Ф. Бейкер писал (1926, стр. 269), что [Коррадо Серге] «может быть назван отцом этой замечательной итальянской школы, которая достигла столь многого в бирациональной теории алгебраических множеств». Об этом Бригалья и Чилиберто (2004) говорят: «Сегре возглавлял и продвигал вперёд школу геометрии, которую Луиджи Кремона основал в 1860». По данным проекта «Математическая генеалогия» подлинная плодовитость школы началась с Гвидо Кастельнуово и Федериго Энрикеса. В США многих учеников воспитал Оскар Зариски.
Список математиков итальянской школы включает в себя также следующих итальянцев: Джиакомо Альбанезе, Бертини, Кампеделли, Оскар Кизини, Микеле Де Франчис, Паскуале дель Пеццо, Бениамино Сегре, Франческо Севери, Гвидо Заппа (с другим значимым вкладом Джино Фано, Розати, Торелли, Джузеппе Веронезе).
В других странах в сходных областях работали Генри Фредерик Бейкер и Патрик Дю Валь (Великобритания), Артур Байрон Кобл (США), Жорж Умбер и Шарль Эмиль Пикар (Франция), Люсьен Годо (Бельгия), Герман Шуберт и Макс Нётер, а позже Эрих Кэлер (Германия), Иероним Георг Цейтен (Дания), Болеслав Корнелиевич Млодзиевский (Россия).
Эти люди работали скорее в алгебраической геометрии, нежели в погоне за проективной геометрией как синтетической геометрией, которая в тот период была громадным по масштабам, но с исторической точки зрения бесперспективным направлением исследования.
Новая алгебраическая геометрия, наследовавшая итальянской школе, отличалась также интенсивным использованием алгебраической топологии. Основоположником этой тенденции был Анри Пуанкаре; в 1930-е она была развита Лефшецем, Ходжем и Тоддом. Современный синтез сблизил их работы, а также школы Анри Картана, Вэй-Лянга Чжоу и Кунихико Кодаиры, с традиционным материалом.
В ранние годы итальянской школы, при Кастельнуово, стандарты строгости были в ней так же высоки, как во всей остальной математике. При Энрикесе стало считаться допустимым использовать более неформальные аргументы, например, «принцип непрерывности», утверждающий, что то, что справедливо вплоть до какого-то предела, справедливо и при этом пределе — принцип, не имевший не то что строгого доказательства, но даже удовлетворительной формулировки. Поначалу это не сказывалось негативно, поскольку интуиция Энрикеса была достаточно тонкой, чтобы его утверждения оказались на самом деле верными, и использование таких соображений позволило ему выдвигать несколько спекулятивные результаты об алгебраических поверхностях. К сожалению, примерно с 1930 и далее под руководством Севери стандарты строгости размылись ещё сильнее, вплоть до той степени, что результаты оказывались не просто недостаточно обоснованными, но даже безнадёжно неверными. Например, в 1934 Севери заявил, что пространство классов рациональной эквивалентности циклов на алгебраической поверхности конечномерно, но в 1968 году Мамфорд показал, что это неверно для поверхностей положительного геометрического рода; или, например, в 1946 Севери опубликовал статью, в которой провозглашалось доказательство того, что поверхность степени 6 в трёхмерном пространстве имеет не более 52 особенностей, но секстика Барта имеет 65 особенностей. Севери не считал свои аргументы неадекватными, что вело к язвительным диспутам о статусе некоторых его результатов.
К 1950 стало слишком сложно говорить, какие из заявленных результатов были корректными, и неформальная интуитивная школа алгебраической геометрии окончательно пришла в упадок из-за своих слабых оснований. Примерно с 1950 по 1980 прилагались значимые усилия к тому, чтобы спасти от окончательного краха как можно больше утверждений, придав им строгий алгебраический стиль алгебраической геометрии, основанной Вейлем и Зарисский. В частности, в 1960-х Кодаира и Шафаревич с его учениками переписали классификацию Энрикеса алгебраических поверхностей более строго, а также распространили её на все компактные комплексные поверхности; в 1970-х Фултон и Макферсон поставили классические вычисления теории пересечений на строгую почву.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .