WikiSort.ru - Не сортированное

Гиперболическое построение

Чтобы построить треугольную группу, начнём с гиперболического треугольника с углами π/2, π/3, π/7. Этот треугольник является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и его отражения замощают плоскость путём отражений относительно сторон. Рассмотрим группу, порождённую отражениями относительно сторон треугольника. Эта группа является неевклидовой кристаллографической группой^[en] (дискретной подгруппой гиперболических изометрий) с этим треугольником в качестве фундаментальной области. Ассоциированная мозаика является разделённой семиугольной мозаикой порядка 3^[en]. Треугольная группа (2,3,7) определяется как подгруппа индекса 2, состоящая из сохраняющих ориентацию изометрий, и является фуксовой группой^[en] (сохраняющей ориентацию неевклидовой кристаллографической группой).

Однородные семиугольные/треугольные мозаики[en]
Симметрия: [7,3], (*732)[en]							[7,3]+, (732)
{7,3}[en]	t{7,3}[en]	r{7,3}[en]	2t{7,3}[en]=t{3,7}	2r{7,3}[en]={3,7}	rr{7,3}[en]	tr{7,3}[en]	sr{7,3}[en]
Однородные двойственные мозаики
V73[en]	V3.14.14	V3.7.3.7	V6.6.7	V37[en]	V3.4.7.4	V4.6.14[en]	V3.3.3.3.7

Задание группы

Группа может быть задана при помощи пары генераторов, g₂, g₃, со следующими соотношениями:

${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=1.}$

Геометрически эти соотношения соответствуют вращениям на 2π/2, 2π/3 и 2π/7 вокруг вершин треугольника Шварца.

Алгебра кватернионов

Группа треугольников (2,3,7) может быть представлена при помощи группы кватернионов с нормой 1 при подходящем R-порядке^[en][2] в алгебре кватернионов^[en]*. Конкретнее, группа треугольника является факторгруппой группы кватернионов по её центру ±1.

Пусть η = 2cos(2π/7). Тогда из равенства

${\displaystyle (2-\eta )^{3}=7(\eta -1)^{2}.}$

видим, что Q(η) является полностью вещественным кубическим расширением Q. Гиперболическая группа треугольника (2,3,7) является подгруппой группы элементов алгебры кватернионов с нормой 1, образованной как ассоциативная алгебра парой генераторов i и j и отношениями i² = j² = η, ij = −ji. Можно выбрать подходящий порядок кватернионов Гурвица^[en] ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{\mathrm {Hur} }}$ в алгебре кватернионов. Здесь порядок ${\displaystyle Q_{\mathrm {Hur} }}$ порождается элементами

${\displaystyle g_{2}={\tfrac {1}{\eta }}ij}$

${\displaystyle g_{3}={\tfrac {1}{2}}(1+(\eta ^{2}-2)j+(3-\eta ^{2})ij).}$

Фактически порядок является свободным Z[η]-модулем над базисом ${\displaystyle 1,g_{2},g_{3},g_{2}g_{3}}$ . Генераторы удовлетворяют условиям

${\displaystyle g_{2}^{2}=g_{3}^{3}=(g_{2}g_{3})^{7}=-1,}$

которые сводятся к соотношениям в треугольной группе после взятия факторгруппы по центру.