WikiSort.ru - Не сортированное

Случай простых полюсов

Пусть функция ${\displaystyle F(p)={\frac {1}{p(p-a)(p-b)}}}$ . Очевидно, что функция имеет полюса первого порядка в точках ${\displaystyle p_{1}=0}$ , ${\displaystyle p_{2}=a}$ и ${\displaystyle p_{3}=b}$ Тогда её оригинал представим в виде ${\displaystyle f(t)=A_{1}\cdot e^{0t}+A_{2}\cdot e^{at}+A_{3}\cdot e^{bt}}$ .

Найдём соответствующие ${\displaystyle A_{1}}$ , ${\displaystyle A_{2}}$ и ${\displaystyle A_{3}}$ . Для этого вычислим производную знаменателя функции ${\displaystyle F_{2}^{\prime }(p)=3p^{2}-2bp-2ap+ab}$ . В соответствии с вышесказанным ${\displaystyle A_{1}={\frac {F_{1}(p_{1})}{F_{2}^{\prime }(p_{1})}}={\frac {F_{1}(0)}{F_{2}^{\prime }(0)}}={\frac {1}{ab}}}$ . Аналогично ${\displaystyle A_{2}={\frac {1}{a^{2}-ab}}}$ и ${\displaystyle A_{3}={\frac {1}{b^{2}-ab}}}$ .

Окончательно, оригинал функции ${\displaystyle F(p)={\frac {1}{p(p-a)(p-b)}}}$ равен ${\displaystyle f(t)={\frac {1}{ab}}+{\frac {1}{a^{2}-ab}}e^{at}+{\frac {1}{b^{2}-ab}}e^{bt}}$ .

Случай кратных полюсов

Пусть функция ${\displaystyle F(p)={\frac {p+a}{p(p+b)^{2}}}}$ . Функция имеет полюс первого порядка при ${\displaystyle p_{1}=0}$ и полюс второго порядка в точке ${\displaystyle p_{2}=-b}$ . Следовательно оригинал должен иметь вид ${\displaystyle f(t)=A_{1}\cdot e^{0t}+A_{21}\cdot te^{-bt}+A_{22}\cdot e^{-bt}}$ .

Следует отметить коэффициенты ${\displaystyle A_{kv}=A_{k}}$ для полюсов первого порядка можно по-прежнему искать вычисляя производную: ${\displaystyle F_{2}^{\prime }(p)=3p^{2}+4bp+b^{2}}$ . Таким образом ${\displaystyle A_{1}={\frac {a}{b^{2}}}}$ .

Пусть теперь ${\displaystyle A_{2}(p)=(p+b)^{2}\cdot F(p)={\frac {p+a}{p}}}$ (это соответствует выражению под знаком предела в общей формуле). Тогда ${\displaystyle A_{21}={\frac {1}{0!}}\lim _{p\to -b}A^{(0)}(p)=-{\frac {a-b}{b}}}$ и ${\displaystyle A_{22}={\frac {1}{1!}}\lim _{p\to -b}A^{(1)}(p)=-{\frac {a}{b^{2}}}}$ , где ${\displaystyle A^{(1)}(p)={\frac {dA(p)}{dp}}=-{\frac {a}{p^{2}}}}$ .

Окончательно имеем ${\displaystyle f(t)={\frac {a}{b^{2}}}-{\frac {a-b}{b}}te^{-bt}-{\frac {a}{b^{2}}}e^{-bt}}$ .