WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Операционное исчисление — один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев с помощью простых средств решать сложные математические задачи.

История

В середине XIX века появился ряд сочинений, посвящённых так называемому символическому исчислению и применению его к решению некоторых типов линейных дифференциальных уравнений. Сущность символического исчисления состоит в том, что вводятся в рассмотрение и надлежащим образом интерпретируются функции оператора дифференцирования $p={d \over dt}$ (см. Теория операторов). Среди сочинений по символическому исчислению следует отметить вышедшую в 1862 году в Киеве обстоятельную монографию профессора-математика М. Е. Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений». В ней поставлены и разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного.

В 1892 году появились работы английского учёного О. Хевисайда, посвящённые применению метода символического исчисления к решению задач по теории распространения электрических колебаний в проводах. В отличие от своих предшественников, Хевисайд определил обратный оператор однозначно, полагая ${\frac {1}{p}}f(t)=\int \limits _{0}^{t}\!f(u)\,du$ и считая $f(u)=0$ для $u<0$ . Труды Хевисайда положили начало систематическому применению символического, или операционного, исчисления к решению физических и технических задач.

Однако широко развитое в трудах Хевисайда операционное исчисление не получило математического обоснования, и многие его результаты оставались недоказанными. Строгое обоснование было дано значительно позже, когда была установлена связь между функциональным преобразованием Лапласа ${\bar {f}}(p)=L\left[f(t)\right]=\int \limits _{0}^{\infty }\!e^{-pt}f(t)\,dt$ и оператором дифференцирования ${d \over dt}.$ Именно, если существует производная $f^{\prime }(t)$ , для которой $L\left[{df \over dt}\right]$ существует и $f(0)=0$ , то $L\left[{df \over dt}\right]=p{\bar {f}}(p)$

Свойства изображений

Линейность

Оригинал линейной комбинации функций равен линейной комбинации изображений с теми же коэффициентами.

a\cdot f(t)+b\cdot g(t)\quad \Rightarrow \quad a\cdot F(p)+b\cdot G(p),

где a и b — произвольные комплексные числа.

Теорема подобия

f(at)\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{a}}F\left({\frac {p}{a}}\right),

где a>0.

Дифференцирование оригинала

f(t)\quad \Rightarrow \quad F(p);

f'(t)\quad \Rightarrow \quad pF(p)-f(0);

f''(t)\quad \Rightarrow \quad p^{2}F(p)-pf(0)-f'(0);

f'''(t)\quad \Rightarrow \quad p^{3}F(p)-p^{2}f(0)-pf'(0)-f''(0);

...

f^{(n)}(t)\quad \Rightarrow \quad p^{n}F(p)-p^{n-1}f(0)-p^{n-2}f'(0)-p^{n-3}f''(0)-...-f^{(n-1)}(0).

Дифференцирование изображения

-tf(t)\quad \Rightarrow \quad F'(p).

Интегрирование оригинала

\int \limits _{0}^{t}f(t)dt\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{p}}F(p).

Интегрирование изображения

{\frac {f(t)}{t}}\quad \Rightarrow \quad \int \limits _{p}^{\infty }F(p)dp.

Теорема смещения

e^{at}f(t)\quad \Rightarrow \quad F(p-a).

Теорема запаздывания

f(t-\tau )\quad \Rightarrow \quad e^{-p\tau }F(p).

Теорема умножения (свёртки)

\int \limits _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \quad \Rightarrow \quad F(p)\cdot G(p).

Изображения различных функций

Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
$C$	${\frac {C}{p}}$	$t\cdot \sin ~\omega t$	${\frac {2p\omega }{(p^{2}+\omega ^{2})^{2}}}$	$t\cdot \operatorname {sh} ~\omega t$	${\frac {2p\omega }{(p^{2}-\omega ^{2})^{2}}}$
$e^{at}$	${\frac {1}{p-a}}$	$t\cdot \cos ~\omega t$	${\frac {p^{2}-\omega ^{2}}{(p^{2}+\omega ^{2})^{2}}}$	$t\cdot \operatorname {ch} ~\omega t$	${\frac {p^{2}+\omega ^{2}}{(p^{2}-\omega ^{2})^{2}}}$
$\sin ~\omega t$	${\frac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}$	$\operatorname {sh} ~\omega t$	${\frac {\omega }{p^{2}-\omega ^{2}}}$	$t^{n}$	${\frac {n!}{p^{n+1}}}$
$\cos ~\omega t$	${\frac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}$	$\operatorname {ch} ~\omega t$	${\frac {p}{p^{2}-\omega ^{2}}}$	$t^{a}$	${\frac {\Gamma (a+1)}{p^{a+1}}}$
$e^{at}\sin ~\omega t$	${\frac {\omega }{(p-a)^{2}+\omega ^{2}}}$	$e^{at}\operatorname {sh} ~\omega t$	${\frac {\omega }{(p-a)^{2}-\omega ^{2}}}$	$e^{at}t^{n}$	${\frac {n!}{(p-a)^{n+1}}}$
$e^{at}\cos ~\omega t$	${\frac {p-a}{(p-a)^{2}+\omega ^{2}}}$	$e^{at}\operatorname {ch} ~\omega t$	${\frac {p-a}{(p-a)^{2}-\omega ^{2}}}$

Пример применения операторных методов

Задача

На рисунке изображена коммутируемая RL-цепочка. В некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается. Определить зависимость тока в RL-цепочке от времени.

Решение традиционным методом

Согласно второму закону Кирхгофа, схема описывается следующим дифференциальным уравнением:

U=iR+L{\frac {di}{dt}},

где первый член описывает падение напряжения на резисторе R, а второй — на индуктивности L.

Делаем замену переменной $i=ab$ и приводим уравнение к виду:

U=Rab+L(a'b+ab');\qquad U=a(Rb+Lb')+La'b.

Поскольку один из сомножителей a, b можно выбрать произвольно, выберем b так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:

Rb+Lb'=0.

Разделяем переменные:

{\frac {b'}{b}}=-{\frac {R}{L}};\qquad \ln b=-{\frac {R}{L}}t;\qquad b=e^{-{\frac {R}{L}}t}.

С учётом выбранного значения b дифференциальное уравнение приводится к виду

U=La'e^{-{\frac {R}{L}}t};\qquad a'={\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{L}};

Интегрируя, получаем

a={\frac {L}{R}}\cdot {\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{L}}+C={\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C;\qquad

Получаем выражение для тока

i=ab=\left({\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C\right)\cdot e^{-{\frac {R}{L}}t}={\frac {U}{R}}+Ce^{-{\frac {R}{L}}t};

Значение постоянной интегрирования находим из условия, что в момент t=0 тока в цепи не было:

i(0)=0;\qquad {\frac {U}{R}}+C=0;\qquad C=-{\frac {U}{R}}.

Окончательно получаем

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).

Решение операторным методом

Найдём изображения каждого из слагаемых дифференциального уравнения:

i\Rightarrow I;\qquad U\Rightarrow {\frac {U}{p}};\qquad iR\Rightarrow IR;\qquad L{\frac {di}{dt}}\Rightarrow L\left[pI-i(0)\right]=pLI.

^[1]

$U\Rightarrow {\frac {U}{p}}$ получается потому, что изменение U во времени выражается функцией U = H(t)U (ключ замкнули в момент t = 0), где H(t) — ступенчатая функция Хевисайда, (H(t) = 0 при t < 0 и H(t) = 1 при t = 0 и t > 0, причём изображение H(t) есть 1/p).

Получаем следующее изображение дифференциального уравнения

{\frac {U}{p}}=RI+pLI=I(R+pL).

Из последнего выражения найдём изображение тока:

I={\frac {U}{p(R+pL)}}.

Таким образом, решение сводится к нахождению оригинала тока по известному изображению. Разложим правую часть уравнения на элементарные дроби:

{\frac {U}{p(R+pL)}}={\frac {A}{p}}+{\frac {B}{R+pL}}={\frac {A(R+pL)+Bp}{p(R+pL)}}={\frac {AR+p(AL+B)}{p(R+pL)}};

AR=U;\qquad A={\frac {U}{R}};

AL+B=0;\qquad B=-AL=-{\frac {UL}{R}};

I={\frac {U}{Rp}}-{\frac {UL}{R(R+pL)}}={\frac {U}{Rp}}-{\frac {U}{R({\frac {R}{L}}+p)}}={\frac {U}{R}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+p}}\right).

Найдём оригиналы элементов последнего выражения:

{\frac {1}{p}}\Leftarrow 1;\qquad {\frac {1}{{\frac {R}{L}}+p}}\Leftarrow e^{-{\frac {R}{L}}t}.

Окончательно получаем

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).

Вывод

Операционное исчисление чрезвычайно удобно в электротехнике для расчёта динамических режимов различных цепей. Алгоритм расчёта следующий.

1) Все элементы цепи рассматриваем как сопротивления Z_i, величины которых находим исходя из изображений переходных функций соответствующих элементов.

Например, для резистора:

u=iR;\quad \Rightarrow \quad U=IR\quad \Rightarrow \quad Z_{R}=R.

Для индуктивности:

u=L{\frac {di}{dt}}\quad \Rightarrow \quad U=IpL\quad \Rightarrow \quad Z_{L}=pL.

Для ёмкости:

u={\frac {1}{C}}\int idt\quad \Rightarrow \quad U={\frac {I}{pC}}\quad \Rightarrow \quad Z_{C}={\frac {1}{pC}}.

2) Используя указанные значения сопротивлений, находим изображения токов в цепи, используя стандартные методы расчёта цепей, применяемые в электротехнике.

3) Имея изображения токов в цепи, находим оригиналы, которые и являются решением дифференциальных уравнений, описывающих цепь.

Замечания

Интересно отметить, что полученные выше выражения для операторного сопротивления различных элементов с точностью до преобразования

p\rightarrow j\omega

совпадают с соответствующими выражениями для сопротивлений в цепях переменного тока:

Z_{R}=R;\qquad Z_{L}=j\omega L;\qquad Z_{C}={\frac {1}{j\omega C}}.

Примечания

↑ В иностранной литературе комплексная переменная p обычно обозначается буквой s.

Литература

М. В. Федорюк. Обыкновенные дифференциальные уравнения (2-е изд.) — М.: Наука, 1985.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] В иностранной литературе комплексная переменная p обычно обозначается буквой s.