WikiSort.ru - Не сортированное

Броуновский мост — это частный случай случайного блуждания с непрерывным временем (винеровского процесса) ${\displaystyle B(t)}$ , когда начальная и конечная точки совпадают: ${\displaystyle B(0)=B(1)=0}$ . Стандартный винеровский процесс "привязан" в начальной точке ${\displaystyle W(0)=0}$ , но имеет свободный конец. Броуновский мост зафиксирован и в начале ${\displaystyle B(0)=0}$ , и в конце ${\displaystyle B(1)=0}$ .

Свойства

Броуновский мост имеет среднее ${\displaystyle {E}\left[B_{t}\right]=0}$ и дисперсию ${\displaystyle \mathrm {D} \left[B_{t}\right]=t(1-t)}$ , что подразумевает наибольшую неопределенность в середине моста и полную определенность на концах. Ковариация ${\displaystyle {Cov}\left[B_{s},B_{t}\right]=s(1-t)}$ , где s < t. Приращения не являются независимыми.

Связь с другими случайными процессами

Если W(t) — стандартный винеровский процесс (т.е. для t ≥ 0, W(t) нормально распределено со средним 0 и дисперсией t, а приращения являются независимыми), то имеем броуновский мост

${\displaystyle B\left(t\right)=W(t)-t\cdot W(1)}$

В свою очередь, если взять броуновский мост B(t) и стандартную нормально распределенную случайную величину Z, то процесс

${\displaystyle W(t)=B\left(t\right)+tZ}$

будет винеровский процессом для t ∈ [0, 1]. В общем, при t ∈ [0, T] имеем

${\displaystyle W(t)=B\left({\frac {t}{T}}\right)+{\frac {t}{\sqrt {T}}}Z}$

Броуновский мост является следствием теоремы Донскера-Прохорова^[en] применительно к эмпирическим процессам^[en]. Также он используется в критерии согласия Колмогорова-Смирнова для статистического вывода.

Общий случай

В общем случае ${\displaystyle B(t_{1})=a}$ и ${\displaystyle B(t_{2})=b}$ . Тогда

${\displaystyle B(t)\sim N\left(a+{\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}(b-a),{\frac {(t-t_{1})(t_{2}-t)}{t_{2}-t_{1}}}\right)}$

при ${\displaystyle t\in (t_{1},t_{2})}$ .

Замечание

Предположим, мы сгенерировали последовательность точек W(0), W(1), W(2), W(3) и т.д. винеровского процесса с помощью компьютерной симуляции. Если мы захотим вставить дополнительную точку на интервале [0,1], то мы должны использовать броуновский мост, проходящий через W(0) и W(1).

См. также

• Гауссовский процесс
• Винеровский процесс
• англ. Glasserman, Paul. Monte Carlo Methods in Financial Engineering, ISBN 0-387-00451-3, Springer-Verlag New York, 2004