WikiSort.ru - Не сортированное

В математике бисимметричная матрица — это квадратная матрица, симметричная относительно обеих диагоналей. Более точно, квадратная n × n — матрица A называется бисиметричной, если выполнены два утверждения:

• A = A^T,
• AJ = JA, где J — обменная матрица n × n.

Если матрица A имеет компоненты a_{i, j} , то эти утверждения могут быть переписаны как:

• a_{i, j} = a_{j, i} ,
• a_{n+1-i, n+1-j} = a_{n+1-j, n+1-i} .

Например:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&f&g&h&d\\c&g&i&g&c\\d&h&g&f&b\\e&d&c&b&a\end{bmatrix}}.}$

Свойства

Бисиметричные матрицы являются как и симметричными центросимметричными матрицами, так и симметричными персимметричными матрицами. Было показано, что вещественные бисимметричные матрицы это те и только те матрицы, чьи собственные вектора не меняются с точностью до знака при умножении на обменную матрицу.^[1]

Произведение двух бисимметричных матриц является центросимметричной матрицей.

Количество различных элементов биссиметричной n × n — матрицы равно ${\displaystyle \left\lfloor \left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\right\rfloor }$ , где через ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ обозначена операция взятия целой части.

Примечания