WikiSort.ru - Не сортированное

В математике, особенно в линейной алгебре, обменной матрицой называют квадратную n × n - матрицу ${\displaystyle J}$ , если элементы её побочной диагонали равны 1, а остальные равны 0. Обменная матрица является матрицей перестановки: она переставляет все строки матрицы в обратном порядке, если умножается слева на эту матрицу, и переставляет в обратном порядке столбцы, если умножается справа.

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}};\quad J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&0&1\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &1&0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0&0\\1&0&\cdots &0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Определение

Квадратная n × n - матрица ${\displaystyle J}$ с элементами ${\displaystyle J_{i,j}}$ называют обменной матрицей, если:

${\displaystyle J_{i,j}={\begin{cases}1,&j=n-i+1\\0,&j\neq n-i+1\\\end{cases}}}$

С помощью символа Кронекера можно записать определение обменной матрицы как:

J_ij = δ_{n + 1 − i, j}.

Свойства

• J^T = J.
• Jⁿ = I для чётных n и Jⁿ = J для нечётных n. Таким образом, J — инволютивная матрица, то есть J⁻¹ = J.
• ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;J=1}$ для нечётных n и ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;J=0}$ для чётных n.
• ${\displaystyle (JA)_{i,j}=A_{n+1-i,j}}$ и ${\displaystyle (AJ)_{i,j}=A_{i,n+1-j}}$ , для произвольной n × n - матрицы A.
• ${\displaystyle \det J=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}$

Связанные определения

Понятие обменной матрицы, в первую очередь, используется для определения матриц, обладающих определёнными симметриями:

• Квадратная матрица A называется центросимметричной, если AJ = JA.
• Квадратная матрица A называется персимметричной, если AJ = JA^T.
• Квадратная матрица A называется бисимметричной, если одновременно A = A^T и AJ = JA.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 26 февраля 2017 года.