WikiSort.ru - Не сортированное

В математике антидиагональная матрица — это матрица, все элементы которой равны нулю, кроме стоящих на побочной диагонали.

Более точно, n × n-матрица A называется антидиагональной, если её компоненты

${\displaystyle A_{i,j}=0}$ для любых (i, j), удовлетворяющих условию i + j ≠ n + 1.

Пример:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&0&1\\0&0&0&2&0\\0&0&5&0&0\\0&7&0&0&0\\-1&0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Свойства

• Все антидиагональные матрицы являются персимметричными.

• Верны следующие свойства умножения матриц:

1. Антидиагональная матрица × Антидиагональная матрица = Диагональная матрица
2. Антидиагональная матрица × Диагональная матрица = Антидиагональная матрица
3. Диагональная матрица × Антидиагональная матрица = Антидиагональная матрица

• Антидиагональные матрицы обратимы тогда и только тогда, когда все элементы её побочной диагонали являются ненулевыми. Обратная матрица любой невырожденной антидиагональной матрицы также является антидиагональной.

• Модуль определителя антидиагональной матрицы равен модулю произведения элементов, стоящих на побочной диагонали. Более точно, определитель n × n-матрицы A равен:

${\displaystyle \det A=(-1)^{\frac {(n-1)n}{2}}\prod _{i=1}^{n}A_{i,n+1-i}.}$

• Любая антидиагональная матрица A с элементами ${\displaystyle \lambda _{i}}$ на побочной диагонали может быть получена из диагональной матрицы D с теми же элементами ${\displaystyle \lambda _{i}}$ на главной диагонали посредством обменной матрицы J:

${\displaystyle A=JD=DJ.}$

Внешние ссылки

• Anti-diagonal matrix на PlanetMath.