WikiSort.ru - Не сортированное

Числа звёздчатого октаэдра (англ. stella octangula numbers) — фигурные числа, подсчитывающие число шаров, которые можно расположить внутри звёздчатого октаэдра. Эти числа равны: 0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, … (последовательность A007588 в OEIS) и в общем случае задаются уравнением ${\displaystyle n(2n^{2}-1)}$ ^[1][2]. Производящая функция чисел звёздчатого октаэдра: ${\displaystyle {\frac {x(x^{2}+10x+1)}{(x-1)^{4}}}=x+14x^{2}+51x^{3}+124x^{4}+...}$ ^[1]

Формулы

Поскольку звёздчатый октаэдр можно представить как комбинацию октаэдра и восьми тетраэдров меньшего размера, формула для чисел звёздчатого октаэдра представима как ${\displaystyle StOct_{n}=O_{n}+8T_{n-1}}$ ^[1], где ${\displaystyle O_{n}}$  — ${\displaystyle n}$ -ное октаэдрическое число, а ${\displaystyle T_{n}}$  — ${\displaystyle n}$ -ное тетраэдрическое число. Поскольку ${\displaystyle O_{n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)}$ ^[3], а ${\displaystyle T_{n-1}={\frac {1}{6}}(n-1)n(n+1)}$ ^[4], получим ${\displaystyle StOct_{n}={\frac {1}{3}}n(2n^{2}+1)+{\frac {8}{6}}(n-1)n(n+1)={\frac {1}{3}}(n(2n^{2}+1)+4(n-1)n(n+1))={\frac {1}{3}}(2n^{3}+n+4n^{3}-4n)={\frac {1}{3}}(6n^{3}-3n)=n(2n^{2}-1)}$ .

Рекуррентные формулы ${\displaystyle O_{n+1}=O_{n}+(n+1)^{2}+n^{2}}$ ^[5] и ${\displaystyle T_{n+1}=T_{n}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$ ^[5] позволяют вывести следующие равенства для чисел звёздчатого октаэдра: ${\displaystyle StOct_{1}=1}$ , ${\displaystyle StOct_{n+1}=StOct_{n}+6n^{2}+6n+1}$ ^[5].

Уравнение Люнггрена

Единственные числа звёздчатого октаэдра, также являющиеся квадратами это ${\displaystyle StOct_{1}=1}$ и ${\displaystyle StOct_{169}=3107^{2}=9653449}$ ^[5] Единственность нетривиального решения следует из единственности решения уравнения Люнггрена (англ.), диофантова уравнения ${\displaystyle y^{2}=2x^{4}-1}$ ^[6][7].

Примечания