WikiSort.ru - Не сортированное

Функциональное уравнение Коши для функции ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ имеет вид

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ .

Функцию, удовлетворяющую этому уравнению, называют аддитивной. Этот термин применяется для произвольных функций, не только над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Уравнение Коши является одним из старейших и наиболее простых функциональных уравнений, однако его решение в вещественных числах является достаточно сложным. В рациональных числах может быть доказано с использованием элементарной математики, что существует единственное семейство решений вида ${\displaystyle f(x)=cx}$ , где c — произвольная константа. Это семейство решений является одним из решений и на множестве вещественных чисел. Дальнейшие ограничения на ${\displaystyle f}$ могут исключать другие решения, например:

• ${\displaystyle f}$ непрерывна (доказано Коши в 1821 году). Это условие было ослаблено в 1875 году Дарбу, который показал, что непрерывность функции необходима только в одной точке.
• ${\displaystyle f}$ монотонна на некотором интервале.
• ${\displaystyle f}$ ограничена на некотором интервале.

С другой стороны, если нет никаких дополнительных ограничений на ${\displaystyle f}$ , то существует бесконечно много других функций, которые удовлетворяют уравнению. Это было доказано в 1905 году Георгом Гамелем с использованием базиса Гамеля, а значит и аксиомы выбора). Обобщение Третьей проблемы Гильберта на случай многомерных пространств использует это уравнение.

Решение в рациональных числах

Докажем, что за знак функции можно выносить рациональные числа. Возьмём ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ :

${\displaystyle f(nx)=f(x+x+\cdots +x)=f(x)+f(x)+\cdots +f(x)=nf(x)}$ ,

${\displaystyle f\left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {nf(x/n)}{n}}={\frac {f(x)}{n}}}$ .

Теперь положим ${\displaystyle x=y=0}$ и ${\displaystyle y=-x}$ :

${\displaystyle f(0)=f(0)+f(0)\Rightarrow f(0)=0}$ ,

${\displaystyle f(0)=f(x)+f(-x)\Rightarrow f(-x)=-f(x)}$ .

Собрав всё вместе, получим:

${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ,x\in \mathbb {R} :f(ax)=af(x)}$ .

Положив ${\displaystyle x=1}$ и обозначив ${\displaystyle c=f\left(1\right)}$ , мы имеем единственное семейство решений ${\displaystyle f(x)=cx}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ .

Существование других решений

Доказательство существования нелинейных решений не конструктивно и основано на аксиоме выбора. С её помощью доказывается существование базиса Гамеля в любом векторном пространстве, в том числе бесконечномерном.

Рассмотрим ${\displaystyle \mathbb {R} }$ как векторное пространство над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ : в нём есть базис Гамеля. Возьмём коэффициент перед некоторым базисным вектором ${\displaystyle \alpha }$ в разложении числа ${\displaystyle x}$ по базису — это и будет значение ${\displaystyle f(x)}$ . Полученная функция принимает рациональные значения (как коэффициент при разложении над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ) и не равна тождественно нулю (${\displaystyle f(\alpha )=1}$ ), а потому не может быть линейна. Нетрудно понять, что она аддитивна, то есть удовлетворяет уравнению Коши.

Свойства других решений

Сейчас мы докажем, что всякое нелинейное решение должно быть достаточно необычной функцией — его график ${\displaystyle y=f(x)}$ должен быть всюду плотен в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ . Это означает, что любой, сколь угодно малый круг на плоскости содержит по крайней мере одну точку этого графика. Из этого легко выводятся другие свойства, такие как разрывность в любой точке, немонотонность и неограниченность на любом интервале.

Мы можем, поделив функцию на ${\displaystyle c=f(1)}$ , считать, что ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} :f(a)=a}$ . Если функция ${\displaystyle f(x)}$ не линейна, то ${\displaystyle f(\alpha )\neq \alpha }$ для некоторого ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ : положим ${\displaystyle f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0}$ . Покажем теперь, как найти точку графика в произвольном круге с центром в точке ${\displaystyle (x,y)}$ , радиуса ${\displaystyle r}$ , где ${\displaystyle x,y,r\in \mathbb {Q} ,r>0,x\neq y}$ . Ясно, что этого достаточно для всюду плотности.

Положим ${\displaystyle \beta ={\frac {y-x}{\delta }}}$ и выберем рациональное число ${\displaystyle b\neq 0}$ , близкое к ${\displaystyle \beta }$ , таким образом, чтобы:

${\displaystyle \left|\beta -b\right|<{\frac {r}{3\left|\delta \right|}}}$

Затем выберем рациональное число ${\displaystyle a}$ , близкое к ${\displaystyle \alpha }$ , так, чтобы:

${\displaystyle \left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{3\left|b\right|}}}$

Теперь возьмем ${\displaystyle X=x+b(\alpha -a)}$ и, используя функциональное уравнение, получим:

${\displaystyle Y=f(X)=f(x+b(\alpha -a))}$

${\displaystyle =x+bf(\alpha )-bf(a)}$

${\displaystyle =y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)}$

${\displaystyle =y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba}$

${\displaystyle =y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)}$

Но тогда ${\displaystyle (Y-y)^{2}+(X-x)^{2}=(b(\alpha -a)-\delta (\beta -b))^{2}+(b(\alpha -a))^{2}\leqslant \left({\frac {r}{3}}+{\frac {r}{3}}\right)^{2}+\left({\frac {r}{3}}\right)^{2}<r^{2}}$ , то есть точка ${\displaystyle (X,Y)}$ оказалась внутри круга.

Литература

• Н. К. Верещагин, А. Шень. Начала теории множеств. — С. 82. — (Лекции по математической логике и теории алгоритмов).
• Решение функционального уравнения Коши — Rutgers University  (англ.)