WikiSort.ru - Не сортированное

Фо́рмула Брахмагу́пты выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон.

Вариации и обобщения

• Формула Брахмагупты обобщает формулу Герона для площади треугольника: достаточно считать, что длина одной из сторон равна нулю (например, ${\displaystyle d=0}$ ).
• На случай произвольных четырёхугольников формула Брахмагупты может быть обобщена следующим образом:

  ${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }},}$

где ${\displaystyle \theta }$ есть полусумма противоположных углов четырёхугольника. (Какую именно пару противоположных углов взять, роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна ${\displaystyle \theta }$ , то полусумма двух других углов будет ${\displaystyle 180^{\circ }-\theta }$ , и ${\displaystyle \cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta .}$ )

Иногда эту более общую формулу записывают так:

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+uv)(ac+bd-uv)}}}$

где ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$  — длины диагоналей четырёхугольника.

• Роббинс (англ.) доказал, что для любого вписанного многоугольника с ${\displaystyle n}$ сторонами величина ${\displaystyle (4S)^{2}}$ является корнем некоторого многочлена ${\displaystyle P}$ , коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для ${\displaystyle n=5}$ и ${\displaystyle n=6}$ . Другими авторами установлено, что многочлен ${\displaystyle P}$ можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень ${\displaystyle N=N(n)}$ была равна ${\displaystyle \Delta _{k}}$ , если ${\displaystyle n=2k+1}$ и ${\displaystyle 2\Delta _{k}}$ , если ${\displaystyle n=2k+2}$ . Здесь

  ${\displaystyle \Delta _{k}={\frac {2k+1}{2}}{\binom {2k}{k}}-2^{2k-1}=\sum _{j=0}^{k-1}(k-j){\binom {2k+1}{j}},}$

где ${\displaystyle {\tbinom {k}{j}}={\tfrac {k!}{j!(k-j)!}}}$ — биномиальные коэффициенты. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем ${\displaystyle \Delta _{1}=1}$ , ${\displaystyle \Delta _{2}=7}$ , ${\displaystyle \Delta _{3}=38}$ , ${\displaystyle \Delta _{4}=187,\dots }$ (последовательность A000531 в OEIS) и ${\displaystyle N(4)=2}$ , ${\displaystyle N(5)=7}$ , ${\displaystyle N(6)=14}$ , ${\displaystyle N(7)=38,\dots }$ (последовательность A107373 в OEIS).

• Если в формуле Брахмагупты выразить полупериметр через полусумму всех сторон данного четырехугольника, возвести обе части в квадрат, умножить на -16, раскрыть скобки и привести подобные, то она примет вид:

${\displaystyle -16S^{2}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}-2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}d^{2}+c^{2}d^{2})-8abcd}$

• Правая часть совпадает с разложением определителя, приведенного ниже, если его умножить на -1. Поэтому можно написать, что^[1]

${\displaystyle 16S^{2}=-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}$

Популярная литература

• А. Ю. Давидов. Элементарная геометрия в объеме гимназического курса. — 1863.
• В. В. Прасолов. Формула Брахмагупты // Математика в школе. — 1991. — № 5.
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

Научная литература

• В. В. Варфоломеев. Вписанные многоугольники и полиномы Герона // Мат. сборник.. — 2003. — Т. 194, № 3. — С. 3—24.
• M. Fedorchuk, I. Pak (2005). “Rigidity and polynomial invariants of convex polytopes” (PDF). Duke Math. J. 129 (2): 371—404. DOI:10.1215/S0012-7094-05-12926-X.

См. также

• Брахмагупта
• Теорема Брахмагупты

1. ↑ Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И.В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39.