WikiSort.ru - Не сортированное

Формальное дифференцирование — операция над элементами кольца многочленов или кольцом формальных степенных рядов, повторяющая форму производных из математического анализа. Алгебраическое преимущество формального дифференцирования состоит в том, что оно не опирается на понятие предела, которое в общем случае невозможно определить для кольца. Многие свойства производной верны для формального дифференцирования, но некоторые, особенно касающиеся утверждений, содержащих числа, не верны. В основном формальное дифференцирование применяется в алгебре при проверке кратности корней полиномов.

Определение

Определение формального дифференцирования таково: зафиксируем кольцо R (не обязательно коммутативное), пусть A = R[x] является кольцом многочленов над R. Тогда формальное дифференцирование представляет собой действие над элементами A, при котором если

${\displaystyle f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

то формальная производная равна

${\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +2a_{2}x+a_{1}}$

как и в случае многочленов над вещественными или комплексными числами.

Заметим, что выражение ${\displaystyle na_{n}}$ означает не умножение в кольце, но ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{n},}$ где ${\displaystyle k}$ не используется под знаком суммы.

Следует отметить, что для некоммутативных колец данное определение имеет сложность. Сама формула корректна, но стандартной формы для многочлена не существует. Использование такого определения приводит к сложностям при доказательстве формулы ${\displaystyle (f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b}$ .

Альтернативные варианты определения, подходящие для некоммутативных колец

Пусть для ${\displaystyle r\in R}$ справедливо ${\displaystyle r'=0,}$ пусть также ${\displaystyle x'=1.}$ Определим производную для выражений типа ${\displaystyle (a+b)'=a'+b',}$ и ${\displaystyle (a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.}$

Докажем, что такое определение даст один и тот же результат для выражения вне зависимости от способа его получения, следовательно, определение сопоставимо с аксиомами равенства.

• ${\displaystyle (a+b)'=a'+b'=b'+a'=(b+a)',}$
• ${\displaystyle ((a+b)+c)'=(a+b)'+c'=(a'+b')+c'=a'+(b'+c')=a'+(b+c)'=(a+(b+c))',}$
• ${\displaystyle (a(bc))'=a'(bc)+a(bc)'=a'bc+a(b'c+bc')=a'bc+ab'c+abc'=}$

${\displaystyle =(a'b+ab')c+(ab)c'=(ab)'c+(ab)c'=((ab)c)',}$

• ${\displaystyle ((a+b)c)'=(a+b)'c+(a+b)c'=(a'+b')c+(a+b)c'=(a'c+b'c)+(ac'+bc')=}$

${\displaystyle =\cdots =(a'c+(b'c+ac'))+bc'=(a'c+(ac'+b'c))+bc'=\cdots =(a'c+ac')+(b'c+bc')=}$

${\displaystyle =(ac)'+(bc)'=(ac+bc)'.}$

Линейность следует из определения.

Формула для производной от многочлена (в стандартном виде для коммутативных колец) является следствием определения: ${\displaystyle (\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_{i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}.}$

Свойства

Можно доказать ряд следующих утверждений.

• Формальное дифференцирование линейно: для любых двух многочленов f(x), g(x) и элементов r, s из R верно

${\displaystyle (r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).}$

Если R некоммутативно, существует другой вид свойства линейности, при котором r и s располагаются справа. Если в R нет единичного элемента, то формула не приводится к виду суммы многочленов или суммы одного многочлена и кратного другому многочлену.

• Для формального дифференцирования выполняется правило произведения:

${\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).}$

Отметим важность порядка множителей в случае некоммутативного кольца R.

Два данных свойства делают D производной над A.

Применение

Производная позволяет определить наличие кратных корней: если R является полем, то R[x] является евклидовым кольцом, для которого можно определить понятие кратности корня; для многочлена f(x) и элемента r из R существует неотрицательное целое число m_r и многочлен g(x), такие что

${\displaystyle f(x)=(x-r)^{m_{r}}g(x),}$

где g(r) не равно 0. m_r показывает кратность r как корня f. Из правила произведения следует, что m_r также является количеством применений операции дифференцирования, которые можно провести над f(x) до тех пор, пока r не перестанет быть корнем оставшегося многочлена. Несмотря на то, что не любой многочлен степени n в R[x] имеет n корней с учётом кратности (это лишь максимальное количество), можно перейти к расширению поля, в котором это утверждение справедливо (см. алгебраическое замыкание). После перехода к расширению поля можно найти кратный корень, не являющийся корнем над R. Например, если R является полем с тремя элементами, то многочлен

${\displaystyle f(x)\,=\,x^{6}+1}$

не имеет корней в R; но формальная производная равна нулю, поскольку 3 = 0 в R и в любом расширении R, поэтому при переходе к алгебраическому замыканию мы обнаружим кратный корень, который невозможно найти в R. Следовательно, формальное дифференцирование позволяет создать эффективное понятие кратности. Оно является особенно важным в теории Галуа, в рамках которой проводится различие между сепарабельными и несепарабельными расширениями поля.

Соответствие аналитической производной

Если кольцо чисел R коммутативное, то существует другое эквивалентное определение формальной производной, напоминающее определение из дифференциального анализа. Элемент Y-X кольца R[X,Y] является делителем Yⁿ - Xⁿ при любом неотрицательном целомn, следовательно, является делителем f(Y) - f(X) при любом многочлене f. Обозначим частное (в R[X,Y]) как g:

${\displaystyle g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{Y-X}},}$

тогда несложно доказать, что g(X,X) (в R[X]) совпадает с формальным определением производной f, указанным выше.

Такое определение производной пригодно для формальных степенных рядов в предположении коммутативного кольца чисел.

Примечания

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001
• Michael Livshits, You could simplify calculus, arXiv:0905.3611v1