WikiSort.ru - Не сортированное

Дифференцирование в алгебре — операция, обобщающая свойства различных классических производных и позволяющая ввести дифференциально-геометрические идеи в алгебраическую геометрию. Изначально это понятие было введено для исследования интегрируемости выражений в элементарных функциях алгебраическими методами.

Кольцо, поле, алгебра, оснащённые дифференцированием, называются соответственно дифференциальным кольцом, дифференциальным полем, дифференциальной алгеброй.

Определение

Пусть ${\displaystyle A}$  — алгебра над кольцом ${\displaystyle R}$ . Дифференцирование алгебры ${\displaystyle A}$  — это ${\displaystyle R}$ -линейное отображение ${\displaystyle \partial :A\to A}$ , удовлетворяющее тождеству Лейбница:

${\displaystyle \partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)}$

В более общем случае дифференцирование коммутативной ${\displaystyle A}$ со значениями в ${\displaystyle A}$ -модуле ${\displaystyle M}$  — это ${\displaystyle R}$ -линейное отображение ${\displaystyle \partial :A\to M}$ , удовлетворяющее тождеству Лейбница. В этом случае ${\displaystyle M}$ называют дифференциальным модулем над ${\displaystyle A}$ Множество всех дифференцирований со значениями в ${\displaystyle M}$ обозначается ${\displaystyle \mathrm {D} (M)}$ (${\displaystyle \mathrm {Der} (M)}$ , ${\displaystyle \mathrm {Der} _{R}(A,M)}$ ) и является ${\displaystyle A}$ -модулем. Функтор ${\displaystyle \mathrm {D} }$ является представимым, его представляющий объект обозначается ${\displaystyle \Lambda ^{1}(A)}$ или ${\displaystyle \Omega _{A/R}^{1}}$ и называется модулем кэлеровых дифференциалов. ${\displaystyle \Lambda ^{1}(A)}$ является начальным объектом в категории дифференциальных модулей над ${\displaystyle A}$ , то есть существует такое дифференцирование ${\displaystyle d:A\to \Lambda ^{1}(A)}$ , что любое дифференцирование ${\displaystyle \delta \in \mathrm {D} (M)}$ пропускается через ${\displaystyle d}$ :

${\displaystyle \exists !f:\Lambda ^{1}(A)\to M:~\delta =f\circ d}$

Свойства

${\displaystyle \mathrm {D} (A)}$ имеет естественную структуру алгебры Ли: ${\displaystyle \mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}\in \mathrm {D} (A)\implies [\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}\in \mathrm {D} (A)}$ .

Любое дифференцирование является дифференциальным оператором первого порядка (в смысле коммутативной алгебры). Более того, если ${\displaystyle A}$  — алгебра с единицей, то для любого ${\displaystyle A}$ -модуля ${\displaystyle M}$ выполнено:

${\displaystyle \mathrm {Diff} _{1}(M)=\mathrm {D} (M)\oplus M}$ ,

где ${\displaystyle \mathrm {Diff} _{1}(M)}$  — модуль дифференциальных операторов 1 порядка из ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle M}$ .

${\displaystyle \mathrm {Der} _{R}(A,M)}$ является функтором из ${\displaystyle ({\mathcal {R}}ing^{op})\times (R-{\mathcal {A}}lg^{op})\times (A-{\mathcal {M}}od)}$ в ${\displaystyle A-{\mathcal {M}}od}$ .

Градуированное дифференцирование

Для ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ -градуированной алгебры ${\displaystyle A}$ с градуировкой элемента ${\displaystyle a\in A}$ , обозначаемой ${\displaystyle |a|}$ , аналогом дифференцирования являются градуированные дифференцирования, порождённые однородными отображениями ${\displaystyle \mathrm {D} :A\to A}$ степени ${\displaystyle |\mathrm {D} |}$ , удовлетворяющими следующему градуированному тождеству Якоби (${\displaystyle \varepsilon =\pm }$ ):

${\displaystyle \mathrm {D} (ab)=(\mathrm {D} a)b+\varepsilon ^{|a||\mathrm {D} |}a(\mathrm {D} b)}$

Если ${\displaystyle \varepsilon =1}$ , то градуированные дифференцирования совпадают с обычными. Если ${\displaystyle \varepsilon =-1}$ , то их обычно называют супердифференцированиями. Супердифференцирования образуют супералгебру Ли относительно суперкоммутатора:

${\displaystyle [\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-(-1)^{|\mathrm {D} _{1}||\mathrm {D} _{2}|}\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}}$ .

Примерами супердифференцирований являются внешнее и внутреннее дифференцирование на кольце дифференциальных форм.

Литература

• Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 .
• Kolař, Ivan; Slovák, Jan & Michor, Peter W. (1993), Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag, <http://www.emis.de/monographs/KSM/index.html> .