WikiSort.ru - Не сортированное

Особые решения

Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной ${\displaystyle y'=p=p_{0}}$ , удовлетворяющей алгебраическому уравнению

${\displaystyle p_{0}-\varphi (p_{0})=0,}$

так как для постоянного ${\displaystyle p_{0}}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dx}}\equiv 0.}$

Если ${\displaystyle y'=p_{0}}$ , то ${\displaystyle y=p_{0}x+C_{0}}$ , постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение:

${\displaystyle p_{0}x+C_{0}=x\varphi (p_{0})+f(p_{0}),}$

так как в рассматриваемом случае ${\displaystyle p_{0}=\varphi (p_{0})}$ , то

${\displaystyle C_{0}=f(p_{0})}$ .

Окончательно можем написать:

${\displaystyle y=x\varphi (p_{0})+f(p_{0})}$ .

Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым.

Общее решение

Будем рассматривать обратную функцию к ${\displaystyle p=y'}$ , тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать:

${\displaystyle {\frac {dx}{dp}}-x{\frac {\varphi (p)}{p-\varphi (p)}}={\frac {f(p)}{p-\varphi (p)}}}$ .

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, решая которое, получим выражение для x как функцию от p:

${\displaystyle x=w(p,C).}$

Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде:

${\displaystyle {\begin{cases}y=x\varphi (p)+f(p)\\x=w(p,C)\end{cases}}}$ .

Исключая из этой системы переменную p, получим общие решение в виде

${\displaystyle \Phi (x,y,C)=0}$ .