WikiSort.ru - Не сортированное

Осо́бое реше́ние обыкновенного дифференциального уравнения — решение, в любой окрестности каждой точки которого нарушается единственность решения задачи Коши для этого уравнения.

Определение

Рассмотрим уравнение

${\displaystyle F(x,y,y')=0,\ \ \ (1)}$

где ${\displaystyle F(x,y,p)}$  — ${\displaystyle C^{1}}$ -гладкая функция в некоторой области ${\displaystyle G\subseteq {\mathbb {R} ^{3}}_{(x,y,p)}}$ . Решение уравнения (1) ${\displaystyle y=\psi (x),x\in \mathrm {I} \subseteq \mathbb {R} ,}$ называется особым решением, если каждая точка ${\displaystyle (x_{0},\psi (x_{0})),x_{0}\in \mathrm {I} ,}$ соответствующем ему интегральной кривой является точкой локальной неединственности решения задачи Коши с начальным условием ${\displaystyle y(x_{0})=\psi (x_{0})}$ .

Свойства

Особое решение ${\displaystyle y=\psi (x),x\in \mathrm {I} }$ , уравнения (1) геометрически означает, что интегральная кривая ${\displaystyle y=\psi (x)}$ в каждой своей точке касается некоторой другой интегральной кривой уравнения (1) и не совпадает с ней в некоторой окрестности этой точки, то есть является огибающей семейства интегральных кривых уравнения (1).

Особое решение уравнения (1), если оно существует, всегда является дискриминантной кривой этого уравнения^[1](точнее, оно всегда является частью дискриминантной кривой: последняя может иметь несколько ветвей с разными свойствами). Обратное не верно: дискриминантная кривая не обязательно является решением уравнения (а если является, то не обязательно особым) ^[2]. Так, например, дискриминантная кривая уравнения Чибрарио ${\displaystyle (y')^{2}=x}$ является не решением, а геометрическим местом точек возврата его интегральных кривых.

Поэтому для практического отыскания особых решений уравнения нужно сначала найти его дискриминантную кривую, а затем проверить, является ли она (каждая её ветвь, если их несколько) особым решением уравнения (1), или нет^[2].

Примеры

1. Простыми примерами дифференциальных уравнений, имеющих особые решения, являются уравнение Клеро и уравнение ${\displaystyle (y')^{2}=y}$ , неособые решения которого задаются формулой ${\displaystyle y={\frac {1}{4}}(x-c)^{2}}$ с постоянной интегрирования ${\displaystyle c}$ , а особое решение имеет вид ${\displaystyle y=0}$ .

2. Дискриминантная кривая уравнения ${\displaystyle (y')^{2}=4y^{3}(1-y)}$ состоит из двух непересекающихся ветвей: ${\displaystyle y=1}$ и ${\displaystyle y=0}$ . Обе они являются решениями этого уравнения. Однако первая из них является особым решением, а вторая — нет: в каждой точке линии ${\displaystyle y=1}$ она касается какой-либо другой интегральной кривой этого уравнения, а к линии ${\displaystyle y=0}$ интегральные кривые лишь приближаются асимптотически при ${\displaystyle x\to \infty }$ ^[3].

Примечания

Литература

• Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.
• Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 2000.
• Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — М.: Физматлит, 2001.
• Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: УРСС, 2004, 2007.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.