WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Жордана — классическая теорема геометрии известная благодаря простоте формулировки и чрезвычайной сложности доказательства.

Формулировка

Простая (то есть не имеющая самопересечений) плоская замкнутая кривая ${\displaystyle \gamma }$ разбивает плоскость ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ на две связные компоненты и является их общей границей. ^[1]

История

Теорема была сформулирована и доказана Камилем Жорданом в 1887 году.

Часто утверждают, что доказательство Жордана не было вполне исчерпывающим, а первое полное доказательство было дано Освальдом Вебленом в 1905 году.^[2] Однако Томас Хейлс^[en] пишет, что доказательство Жордана не содержит ошибок, и единственная возможная претензия по отношению к этому доказательству состоит в том, что Жордан предполагает известным утверждение теоремы в случае, когда замкнутая кривая является многоугольником.^[3]

О доказательствах

Известно несколько простых доказательств теоремы Жордана.

• Короткое и элементарное доказательство теоремы Жордана предложил Алексей Фёдорович Филиппов в 1950 году^[4].
• Очень короткое доказательство с использованием фундаментальной группы дано Дойлем. ^[5]

Вариации и обобщения

• Теорема Жордана обобщается по размерности:

Любое (n-1)-мерное подмногообразие в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , гомеоморфное сфере, разбивает пространство на две связные компоненты и является их общей границей.

При ${\displaystyle n=3}$ это доказано Лебегом, в общем случае — Брауэром, отчего ${\displaystyle n}$ -мерная теорема Жордана иногда называется теоремой Жордана — Брауэра.^[1]

• Теорема Шёнфлиса утверждает, что ограниченная компонента в теореме Жордана гомеоморфна единичному диску.
  • Пример дикой сферы показывает, что аналогичное утверждение не верно в старших размерностях.

См. также

• Жорданова кривая
• Озёра Вады

Примечания

Литература

• Аносов Д. В. Отображения окружности, векторные поля и их применения. — М.: изд-во МЦНМО, 2003.
• Филиппов А. Ф. Элементарное доказательство теоремы Жордана. — УМН, 5:5(39) (1950), 173—176.
• Jordan С. Cours d’analyse, t. I, P., 1893.
• Валле-Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. — пер. с франц., т. 2, Л.-М., 1933.
• Александров П. С. Комбинаторная топология. — М.-Л., 1947.
• Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — пер. с англ., М.: 1964.
• Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
• Прасолов В. В. Теорема Жордана. — Матем. образование, апрель-сентябрь 1999, 95—101.