WikiSort.ru - Не сортированное

Нумерация Гёделя — это функция g, сопоставляющая каждому объекту некоторого формального языка её номер. С её помощью можно явно пронумеровать следующие объекты языка: переменные, предметные константы, функциональные символы, предикатные символы и формулы, построенные из них. Построение нумерации Гёделя для объектов теории называется арифметизацией теории — оно позволяет переводить высказывания, аксиомы, теоремы, теории в объекты арифметики. При этом требуется, чтобы нумерация g была эффективно вычислимой и для любого натурального числа можно было определить, является ли оно номером или нет, и если является, то построить соответствующий ему объект языка. Нумерация Гёделя очень похожа на посимвольное кодирование строк числами, но с той разницей, что для кодирования последовательностей номеров букв используется не конкатенация номеров одинаковой длины, а основная теорема арифметики.

Нумерация Гёделя была применена Гёделем в качестве инструмента для доказательства неполноты формальной арифметики.

Вариант нумерации Гёделя формальной теории первого порядка

Пусть ${\displaystyle \mathrm {K} }$ - теория первого порядка, содержащая переменные ${\displaystyle x_{1},x_{2},...}$ , предметные константы ${\displaystyle a_{1},a_{2},...}$ , функциональные символы ${\displaystyle f_{k}^{n}}$ и предикатные символы ${\displaystyle A_{k}^{n}}$ , где ${\displaystyle k}$ - номер, а ${\displaystyle n}$ - арность функционального или предикатного символа.

Каждому символу ${\displaystyle u}$ произвольной теории первого порядка ${\displaystyle \mathrm {K} }$ поставим в соответствие его гёделев номер ${\displaystyle g(u)}$ следующим образом:^[1]

${\displaystyle g(()=3;\ g())=5;\ g(,)=7;\ g(\neg )=9;\ g(\to )=11;}$

${\displaystyle g(x_{k})=5+8k,\ k=1,2,...;}$

${\displaystyle g(a_{k})=7+8k,\ k=1,2,...;}$

${\displaystyle g(f_{k}^{n})=9+8\cdot 2^{n}3^{k},\ k,n\geqslant 1;}$

${\displaystyle g(A_{k}^{n})=11+8\cdot 2^{n}3^{k},\ k,n\geqslant 1.}$

Гёделев номер произвольной последовательности ${\displaystyle e_{0},...,e_{r}}$ выражений определим следующим образом: ${\displaystyle g(e_{0},...,e_{r})=2^{g(e_{0})}\cdot 3^{g(e_{1})}\cdot ...\cdot p_{r}^{g(e_{r})}}$ .

Существуют также другие нумерации Гёделя формальной арифметики.

Обобщения

Вообще, нумерацией множества ${\displaystyle F}$ называют всюду определенное сюрьективное отображение ${\displaystyle \nu :\mathbb {N} \to F}$ . Если ${\displaystyle \nu (n)=f}$ , то ${\displaystyle n}$ называют номером объекта ${\displaystyle f}$ . Частные случаи ${\displaystyle F}$ - языки и теории.

Примечания

Литература

• Клини С.К. Введение в метаматематику. — М.: ИЛ, 1957. — 526 с.
• Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — М.: «Наука», 1971. — 320 с.

См. также

• Теорема Гёделя о неполноте