WikiSort.ru - Не сортированное

Полином Джонса — полиномиальный инвариант узла. Более точно, это инвариант, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению полином Лорана от формальной переменной t^1/2 с целыми коэффициентами. Обнаружен Воганом Джонсом в 1984 году.

Определение через скобку Кауффмана

Пусть задано ориентированное зацепление L. Определим сначала вспомогательный многочлен ${\displaystyle X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle }$ , где ${\displaystyle w(L)}$ — число закрученности диаграммы ${\displaystyle L}$ , а ${\displaystyle \langle L\rangle }$ — скобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков (${\displaystyle L_{+}}$ на рисунке ниже) и числом отрицательных перекрёстков, (${\displaystyle L_{-}}$ на рисунке ниже), и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.

Тогда ${\displaystyle X(L)}$ будет инвариантом узла, поскольку оно будет инвариантным относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы ${\displaystyle L}$ . Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на ${\displaystyle -A^{\pm 3}}$ , что в точности компенсируется изменением на +1 или -1 числа закрученности ${\displaystyle w(L)}$ .

Теперь, выполняя подстановку ${\displaystyle A=t^{-1/4}}$ в ${\displaystyle X(L)}$ , мы получаем искомый многочлен Джонса ${\displaystyle V(L)}$ . Он, как уже было сказано выше, является многочленом Лорана от переменной ${\displaystyle t^{1/2}}$ .

Определение через представления группы кос

Джонс определил свой полином, используя операторную алгебру. Подход Джонса, основанный на понятии "следа", в частности, представлении кос, привёл к появлению алгебры, которая возникает при изучении некоторых моделей, например, модель Поттса в статистической механике.

Пусть задано зацепление ${\displaystyle L}$ . Теорема Александера утверждает, что любое зацепление является замыканием косы с ${\displaystyle n}$ нитями. Теперь определим представление ${\displaystyle \rho }$ группы кос с ${\displaystyle n}$ нитями, ${\displaystyle B_{n}}$ , на алгебре Темперли-Либа ${\displaystyle TL_{n}}$ с коэффициентами из ${\displaystyle \mathbb {Z} [A,A^{-1}]}$ и ${\displaystyle \delta =-A^{2}-A^{-2}}$ . Стандартная образующая косы ${\displaystyle \sigma _{i}}$ равна ${\displaystyle A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1}$ , где ${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},...,e_{n-1}}$ - стандартные образующие алгебры Темперли-Либа. Это можно легко проверить с помощью определения представления. Рассмотрим слово ${\displaystyle \sigma }$ косы, полученную из ${\displaystyle L}$ и вычислим ${\displaystyle \sigma ^{n-1}tr\rho (\sigma )}$ , где ${\displaystyle tr}$ - след Маркова. Это даёт ${\displaystyle \langle L\rangle }$ , где ${\displaystyle \langle }$ ${\displaystyle \rangle }$ - скобочный полином.

Преимущество этого подхода состоит в том, что выбрав аналогичные представления в других алгебрах, таких как представление ${\displaystyle R}$ -матриц, можно прийти к "обобщению инвариантов Джонса" (например, в^[1] вводится понятие ${\displaystyle k}$ -параллельного полинома Джонса).

Определение через скейн-соотношения

Полином Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующим скейн-соотношением:

${\displaystyle (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-}).}$

Здесь ${\displaystyle L_{+}}$ , ${\displaystyle L_{-}}$ , и ${\displaystyle L_{0}}$ это три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек — см. следующий рисунок:

Связь с другими теориями

Свойства полинома Джонса

Полином Джонса обладает многими замечательными свойствами^[2][3].

• Для зацеплений с нечётным числом компонент (в частности, для узлов) все степени переменной ${\displaystyle t}$ в полиноме Джонса целые, а для зацеплений с чётным числом компонент — полуцелые.
• Полином Джонса связной суммы узлов равен произведению полиномов Джонса слагаемых, то есть

${\displaystyle V(L_{1}\#L_{2})=V(L_{1})V(L_{2}).}$

• Полином Джонса несвязной суммы узлов равен

${\displaystyle V(L_{1}\cup L_{2})=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L_{1})V(L_{2}).}$

• Полином Джонса объединения зацепления ${\displaystyle L}$ и тривиального узла равен

${\displaystyle V(L\cup O)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L).}$

• Пусть k одна из компонент ориентированного зацепления L. Обозначим через L* новое ориентированное зацепление, в котором заменена ориентация компоненты k на противоположную. Тогда ${\displaystyle V_{L^{*}}=t^{-3\cdot \lambda }\cdot V(L),}$ где ${\displaystyle \lambda }$ это коэффициент зацепления компоненты k и L — k.

• Полином Джонса не меняется при обращении узла, то есть при замене направления обхода на противоположное (смене ориентации).

• Зеркально-симметричный образ зацепления имеет полином Джонса, отличающийся заменой t на t⁻¹. В частности, полином Джонса узла, изотопного своему зеркальному образу — палиндром. Это свойство можно легко проверить с помощью определения полинома Джонса через скобку Кауффмана.
• Если ${\displaystyle K}$  — узел, тогда

${\displaystyle V_{K}(e^{2\pi i/3})=1.}$

• ${\displaystyle V_{L}(1)=(-2)^{p-1}}$ , где ${\displaystyle p}$  — это число компонент зацепления ${\displaystyle L}$ .
• Полином Джонса (m, n) — торического узла равен

${\displaystyle V(t)={\frac {t^{\frac {(m-1)\cdot (n-1)}{2}}\cdot (1-t^{m+1}-t^{n+1}+t^{m+n})}{1-t^{2}}}.}$

Открытые проблемы

Существует ли нетривиальный узел, полином Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла? Shalom Eliahou и Jean Fromentin построили семейство нетривиальных узлов K_r с ${\displaystyle 20\cdot 2^{r-1}+1}$ пересечениями для которых полином Джонса V(K_r) сравним с единицей по модулю ${\displaystyle 2^{r}}$ ^[4]. Shalom Eliahoua, Louis H. Kauffman, Morwen B. Thistlethwaite предъявили семейство нетривиальных зацеплений с полиномом Джонса равным полиному тривиального зацепления^[5].

Полином Джонса тенгла

Этот раздел статьи следует викифицировать. Пожалуйста, оформите его согласно правилам оформления статей.

Конструкция полинома Джонса для тенгла является простым обобщением скобки Кауффмана для зацеплений. Эта конструкция была предложена В. Тураевым и опубликована в 1990 году^{[источник не указан 302 дня]}.

См. также

• Многочлен Александера

Примечания

Литература

• Прасолов В.В., Сосинский А.Б., Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия, М.: МЦНМО, 1997.