WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса.

Формулировка

Пусть $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — функция класса $C^{r+2}$ , где $r\geq 1$ , имеющая точку $0\in \mathbb {R} ^{n}$ своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ обращается в нуль, а гессиан ${\Bigl |}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigr |}$ отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности $U$ точки $0$ существует такая система $C^{r}$ -гладких локальных координат (карта) $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ с началом в точке $0$ , что для всех $x\in U$ имеет место равенство^[1]

f(x)=f(0)-x_{1}^{2}-\dots -x_{k}^{2}+x_{k+1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}

.

При этом число $k$ , определяемое сигнатурой квадратичной части ростка $f$ в точке $0$ , называется индексом критической точки $0$ данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса.

Вариации и обобщения

Теорема Тужрона

В окрестности критической точки $0$ конечной кратности $\mu$ существует система координат, в которой гладкая функция $f(x)$ имеет вид многочлена $P_{\mu +1}(x)$ степени $\mu +1$ (в качестве $P_{\mu +1}(x)$ можно взять многочлен Тейлора функции $f(x)$ в точке $0$ в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность $\mu =1$ , и теорема Тужрона превращается в лемму Морса^[1]^[2].

Лемма Морса с параметрами

Пусть $f(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{m}):\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$ — гладкая функция, имеющая начало координат $0$ своей критической точкой, невырожденной по переменным $x_{1},\ldots ,x_{n}$ . Тогда в окрестности точки $0$ существуют гладкие координаты, в которых

f(x,y)=\alpha _{1}x_{1}^{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}^{2}\,+\,f_{0}(y_{1},\ldots ,y_{m}),\quad \alpha _{i}=\pm 1,

где $f_{0}$ — некоторая гладкая функция. Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от $n+m$ переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции)^[1].

Доказательство этого утверждения может быть проведено индукцией по n с использованием леммы Адамара или другим способом^[1].

Примечания

1 2 3 4 Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.
↑ Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63-69.

Литература

Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.
Зорич В. А. Математический анализ.
Хирш М. Дифференциальная топология.
Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.
Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63-69.
Даринский Б. М., Сапронов Ю. И., Царёв С. Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3-140.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[autogenerated1-1] 1 2 3 4 Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.

[2] Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63-69.