WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Лемма Адамара (англ. Hadamard's lemma, фр. Lemme de Hadamard) — утверждение, описывающее строение гладкой вещественной функции. Названа в честь французского математика Жака Адамара^[1].

Пусть $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ — функция класса $C^{r}$ , где $r\geqslant 1$ , определённая в выпуклой окрестности $U$ точки $0$ . Тогда существуют такие функции $g_{1},\;\ldots ,\;g_{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ класса $C^{r-1}$ , определённые в $U$ , что для всех $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\in U$ имеет место равенство^[1]

f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=f(0)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{i}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}),\quad g_{i}(0)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0).

Если функция $f$ — аналитическая, то и функции $g_{1},\;\ldots ,\;g_{n}$ в приведенной выше формуле аналитические.

Обобщенная формулировка

Лемма Адамара может быть сформулирована в более общей форме, когда часть переменных играет роль параметров^[2]:

Пусть $f(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ — функция класса $C^{r}$ , где $r\geqslant 1$ , определённая в выпуклой окрестности $U$ точки $0$ , при этом $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ и $y=(y_{1},\;\ldots ,\;y_{m})$ . Тогда существуют такие функции $g_{1}(x,\,y),\;\ldots ,\;g_{n}(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ класса $C^{r-1}$ , определённые в $U$ , что для всех $(x,\,y)\in U$ имеет место равенство

f(x,\,y)=f(0,\,y)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{i}(x,\,y),\quad g_{i}(0,\,y)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(0,\,y).

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательную функцию $f(tx,\,y)=f(tx_{1},\,\ldots ,\,tx_{n},\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ , где $t$ — дополнительная вещественная переменная (параметр). Пусть $t$ пробегает значения из отрезка $[0,\,1]$ , тогда функция $f(tx,\,y)$ , рассматриваемая как функция $\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$ при каждом фиксированном значении параметра $t$ , пробегает в пространстве функций от $n+m$ переменных некоторую кривую с концами $f(0,\,y)$ и $f(x,\,y)$ .

Рассматривая $f(tx,\,y)$ как функцию переменной $t$ , зависящую от параметров $x\in R^{n}$ и $y\in R^{m}$ , и применяя формулу Ньютона — Лейбница, можно записать:

f(x,\,y)-f(0,\,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,\,y)}{dt}}\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,\,y)\,dt=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,\,y),

где

g_{i}(x,\,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(tx,\,y)\,dt.

Требуемая гладкость функций $g_{i}(x,\,y)$ следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе математического анализа.

Применения

Лемма Адамара позволяет получить ряд полезных следствий, находящих применения в разных разделах математики, в первую очередь, в теории особенностей^[2].

С помощью леммы Адамара легко доказывается Лемма Морса.
Другое полезное следствие леммы Адамара (в её обобщённом виде) состоит в том, что если росток гладкой функции $f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ обращается в нуль на гиперплоскости $x=0$ , то он представим в виде $f=x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),$ где $g$ — некоторая гладкая функция.
Отсюда вытекает, что для ростка любой гладкой функции $f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ имеет место представление $f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),$ где $f_{0}=f(0,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ и $g$ — гладкие функции.
Применяя индукцию, отсюда нетрудно получить также более общее представление:

f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,f_{1}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+\ldots +x^{n}\,f_{n}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x^{n+1}\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),

где $f_{i}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ и $g$ — гладкие функции и $n$ — произвольное натуральное число.

См. также

Примечания

1 2 Зорич В.А. Математический анализ.
1 2 Ремизов А. О. Введение в теорию особенностей (неопр.) (недоступная ссылка). Проверено 18 марта 2015. Архивировано 2 апреля 2015 года.

Литература

Зорич В.А. Математический анализ.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[autogenerated1-1] 1 2 Зорич В.А. Математический анализ.

[autogenerated2-2] 1 2 Ремизов А. О. Введение в теорию особенностей (неопр.) (недоступная ссылка). Проверено 18 марта 2015. Архивировано 2 апреля 2015 года.