WikiSort.ru - Не сортированное

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости^[1].

Обозначения

Единого обозначения компланарность не имеет.

Свойства компланарности

Пусть ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$  — векторы пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Тогда верны следующие утверждения:

• Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.
• Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.
• Смешанное произведение компланарных векторов ${\displaystyle \left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)=0}$ . Это — критерий компланарности трёх векторов.
• Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.
• Существуют действительные числа ${\displaystyle \;\lambda _{1},\lambda _{2}}$ такие, что ${\displaystyle {\vec {a}}=\lambda _{1}{\vec {b}}+\lambda _{2}{\vec {c}}}$ для компланарных ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ , за исключением случаев ${\displaystyle {\vec {b}}={\vec {0}}}$ или ${\displaystyle {\vec {c}}={\vec {0}}}$ . Это — переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.
• В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ образуют базис. То есть любой вектор ${\displaystyle {\vec {d}}\in \mathbb {R} ^{3}}$ можно представить в виде: ${\displaystyle {\vec {d}}=x_{1}{\vec {a}}+x_{2}{\vec {b}}+x_{3}{\vec {c}}}$ . Тогда ${\displaystyle \;\{x_{1},x_{2},x_{3}\}}$ будут координатами ${\displaystyle {\vec {d}}}$ в данном базисе.

Другие объекты

Выше описанные критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле (а, например, как элементы произвольного векторного пространства).

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), не компланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.

Примечания

1. ↑ Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М., Наука, 1975, § 115

См. также

• Коллинеарность