WikiSort.ru - Не сортированное

Интеграл Джексона в теории специальных функций отражает операцию, обратную q-дифференцированию.

Интеграл Джексона ввёл Франк Хилтон Джексон.

Определение

Пусть f(x) — функция от вещественной переменной x. Интеграл Джексона для f определяется как следующий ряд:

${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x).}$

В случае, если g(x) является другой функцией и D_qg означает её q-производную, формально её можно записать:

${\displaystyle \int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},}$ или:

${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),}$

В результате получается q-аналог интеграла Римана — Стилтьеса.

Интеграл Джексона как q-первообразная

Как обычная первообразная непрерывного отображения может быть представлена римановым интегралом, так и интеграл Джексона даёт единственную q-первообразную для некоторого класса функций (см. статьи Кемпфа и Маджида^[1]).

Примечания

Литература

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.