WikiSort.ru - Не сортированное

Двоичный логарифм — логарифм по основанию 2. Другими словами, двоичный логарифм числа ${\displaystyle b}$ есть решение уравнения ${\displaystyle 2^{x}=b.}$

Двоичный логарифм числа ${\displaystyle b}$ существует, если ${\displaystyle b>0.}$ Он обозначается ${\displaystyle \operatorname {lb} b}$ (согласно ISO 31-11), ${\displaystyle \operatorname {lb} (b)}$ или ${\displaystyle \log _{2}b}$ . Примеры:

${\displaystyle \operatorname {lb} 1=0;\,\operatorname {lb} 2=1;\,\operatorname {lb} 16=4}$

${\displaystyle \operatorname {lb} 0{,}5=-1;\,\operatorname {lb} {\frac {1}{256}}=-8}$

Алгебраические свойства

В нижеследующей таблице предполагается, что все значения положительны^[1]:

	Формула	Пример
Произведение	${\displaystyle \operatorname {lb} (xy)=\operatorname {lb} (x)+\operatorname {lb} (y)}$	${\displaystyle \operatorname {lb} (256)=\operatorname {lb} (16\cdot 16)=\operatorname {lb} (16)+\operatorname {lb} (16)=4+4=8}$
Частное от деления	${\displaystyle \operatorname {lb} \!\left({\frac {x}{y}}\right)=\operatorname {lb} (x)-\operatorname {lb} (y)}$	${\displaystyle \operatorname {lb} \left({\frac {1}{32}}\right)=\operatorname {lb} (1)-\operatorname {lb} (32)=0-5=-5}$
Степень	${\displaystyle \operatorname {lb} (x^{p})=p\operatorname {lb} (x)}$	${\displaystyle \operatorname {lb} (1024)=\operatorname {lb} (2^{10})=10\operatorname {lb} (2)=10}$
Корень	${\displaystyle \operatorname {lb} {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\operatorname {lb} (x)}{p}}}$	${\displaystyle \operatorname {lb} {\sqrt {8}}={\frac {1}{2}}\operatorname {lb} 8={\frac {3}{2}}=1{,}5}$

Существует очевидное обобщение приведенных формул на случай, когда допускаются отрицательные переменные, например:

${\displaystyle \operatorname {lb} |xy|=\operatorname {lb} (|x|)+\operatorname {lb} (|y|),}$

${\displaystyle \operatorname {lb} \!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\operatorname {lb} (|x|)-\operatorname {lb} (|y|),}$

Формула для логарифма произведения без труда обобщается на произвольное количество сомножителей:

${\displaystyle \operatorname {lb} (x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\operatorname {lb} (x_{1})+\operatorname {lb} (x_{2})+\dots +\operatorname {lb} (x_{n})}$

Связь двоичного, натурального и десятичного логарифмов:

${\displaystyle \operatorname {lb} x\approx 1{,}442695\ln x}$

${\displaystyle \operatorname {lb} x\approx 3{,}321928\lg x}$

Функция двоичного логарифма

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим функцию двоичного логарифма: ${\displaystyle y=\operatorname {lb} x}$ . Она определена при всех ${\displaystyle x>0}$ . Область значений: ${\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}$ . График этой кривой часто называется логарифмикой^[2].

Функция монотонно возрастает, непрерывна и дифференцируема всюду, где она определена. Производная для неё даётся формулой:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {lb} x={\frac {\operatorname {lb} e}{x}}}$

Ось ординат ${\displaystyle (x=0)}$ является вертикальной асимптотой, поскольку:

${\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\operatorname {lb} x=-\infty }$

Применение

См. также

• Бит
• Десятичный логарифм
• Натуральный логарифм

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978. — ISBN 5-17-009554-6.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.

Ссылки

• Таблица двоичных логарифмов целых чисел от 1 до 100.

Примечания