WikiSort.ru - Не сортированное

Гомото́пия — семейство непрерывных отображений ${\displaystyle F_{t}\colon X\to Y,\;t\in [0,1],}$ «непрерывно зависящих от параметра». Более точное определение дано ниже.

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ топологические пространства. Гомотопией называется непрерывное отображение ${\displaystyle F\colon [0,1]\times X\to Y}$ .

При этом значение ${\displaystyle F(t,x)}$ чаще обозначается ${\displaystyle F_{t}(x)}$ .

Связанные определения

• Гомотопные отображения. Отображения ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ называются гомотопными или ${\displaystyle g\sim f}$ , если существует гомотопия ${\displaystyle f_{t}}$ такая, что ${\displaystyle f_{0}=f}$ и ${\displaystyle f_{1}=g}$ .
• Гомотопическая эквивалентность топологических пространств ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ есть пара непрерывных отображений ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ и ${\displaystyle g\colon Y\to X}$ такая, что ${\displaystyle f\circ g\sim \operatorname {id} _{Y}}$ и ${\displaystyle g\circ f\sim \operatorname {id} _{X}}$ , здесь ${\displaystyle \sim }$ обозначает гомотопность отображений.
  • В этом случае говорят, что ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ гомотопически эквивалентны, или ${\displaystyle X}$ с ${\displaystyle Y}$ имеют один гомотопический тип. Обычно это отношение записывается как ${\displaystyle X\sim Y}$ .
• Гомотопический инвариант — это характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств. То есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: связность, фундаментальная группа, эйлерова характеристика.
• Отображение ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ называется слабой гомотопической эквивалентностью если оно индуцирует изоморфизм гомотопических групп.
  • Подпространство ${\displaystyle A}$ топологического пространства ${\displaystyle X}$ такое, что включение ${\displaystyle A\subset X}$ является слабой гомотопической эквивалентностью называется репрезентативным подпространством.
• Если на некотором подмножестве ${\displaystyle A\subset X,\;F(t,a)=f(a)}$ для всех ${\displaystyle t}$ при ${\displaystyle a\in A}$ , то ${\displaystyle F}$ называется гомотопией относительно ${\displaystyle A}$ , а ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ гомотопными относительно ${\displaystyle A}$ .
• Изотопия — гомотопия топологического пространства ${\displaystyle X}$ по топологическому пространству ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{t}\colon X\to Y,\;t\in [0,1]}$ , в которой при любом ${\displaystyle t}$ отображение ${\displaystyle f_{t}}$ является гомеоморфизмом ${\displaystyle X}$ на ${\displaystyle f_{t}(X)\subset Y}$ .
• Отображение, гомотопное постоянному, т.е. отображению в точку, называют стягиваемым или гомотопным нулю.

Свойства

• Гомотопия задаёт отношение эквивалентности между непрерывными отображениями ${\displaystyle X\to Y}$

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
• Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971

См. также

• Гомотопические группы
• Фундаментальная группа
• Цепная гомотопия

Это заготовка статьи по топологии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.