WikiSort.ru - Не сортированное

Числа бет (${\displaystyle \beth }$ ) в математике — кардинальные числа, характеризующие мощность бесконечного множества. Последовательность бесконечных кардинальных чисел обычно записывается как ${\displaystyle \beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots }$ , где ${\displaystyle \beth }$ названа по второй букве еврейского алфавита (бет).

Числа бет являются частью иерархии алефов (${\displaystyle \aleph _{0},\ \aleph _{1},\ \dots }$ ). Начинаются они одинаково: ${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0},}$ а расположение ${\displaystyle \beth _{1}}$ среди алефов зависит от континуум-гипотезы. Если принять континуум-гипотезу, то ${\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}}$ (мощность континуума), верно и обратное. Если принять более мощную обобщённую континуум-гипотезу, то обе иерархии полностью совпадают: ${\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }}$ для любого индекса ${\displaystyle \alpha .}$ Если же принять, что континуум-гипотеза неверна, то существует много ${\displaystyle \aleph }$ , которые не являются ${\displaystyle \beth }$ .

Определение

Общее определение для конечных индексов:

${\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}}$

${\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}}$

Для бесконечных индексов:

${\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}.}$

Примеры.

• бет-ноль (${\displaystyle {\displaystyle \beth _{0}}}$ ) — равен ${\displaystyle {\displaystyle \aleph _{0}}}$ .
• бет-один (${\displaystyle \beth _{1}}$ ) — множество континуума.
• бет-два (${\displaystyle \beth _{2}}$ ) — 2^c, например, булеан действительных чисел.
• бет-омега (${\displaystyle \beth _{\omega }}$ ) — наименьший неисчислимый сильный кардинальный предел.

Литература

• Forster T. E. Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe, Oxford University Press, 1995 — Beth number is defined on page 5.
• Bell, John Lane. Models and Ultraproducts: An Introduction. — reprint of 1974. — Dover Publications, 2006. — ISBN 0-486-44979-3. See pages 6 and 204—205 for beth numbers.
• Roitman, Judith. Introduction to Modern Set Theory. — Virginia Commonwealth University, 2011. — ISBN 978-0-9824062-4-3. See page 109 for beth numbers.

Ссылки

• Кардиналы и ординалы (неопр.). https://www.math.wisc.edu/.

Примечания