WikiSort.ru - Не сортированное

Якобиан отображения — определённое обобщение производной для функции одной переменной для отображений из Евклидова пространства в себя. Якобиан выражается как определитель матрицы, составленной из частных производных отображения.

Якобиан отображения ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle x}$ обычно обозначается ${\displaystyle \mathop {\rm {Jac}} _{x}f}$ .

Определение

Пусть ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} ^{n}}$ , ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ дифференцируема в точке ${\displaystyle x\in E}$ . Матрица из частных производных координатных функций данного отображения в точке ${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {df^{1}}{dx_{1}}}(x)&\ldots &{\frac {df^{1}}{dx_{m}}}(x)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {df^{n}}{dx_{1}}}(x)&\ldots &{\frac {df^{n}}{dx_{m}}}(x)\end{pmatrix}}}$

называется матрицей Якоби в этой точке. Определитель этой матрицы называется Якобиан.

История

Введён Якоби (1833, 1841).

Свойства

• Абсолютное значение Якобиана в некоторой точке ${\displaystyle x}$ равно коэффициенту искажения объёмов в этой точке (то есть пределу отношения объёма образа окрестности точки ${\displaystyle x}$ к объёму самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю).
• Якобиан в точке ${\displaystyle x}$ положителен, если отображение не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае.
• Если Якобиан отображения не обращается в нуль в области ${\displaystyle \Delta }$ , то отображение ${\displaystyle \Delta }$ является локальным диффеоморфизмом.