WikiSort.ru - Не сортированное

Число Понтрягина ― характеристическое число, определенное для вещественных замкнутых многообразий и принимающее рациональные значения.

Определение

Пусть M есть 4n-мерное гладкое замкнутое многообразие и ${\displaystyle \omega =\{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m}\}}$ ― разбиение числа ${\displaystyle n}$ , то есть набор натуральных чисел, таких что ${\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}$ .

Рациональное число

${\displaystyle P_{\omega }=p_{k_{1}}\cup p_{k_{2}}\cup \cdots \cup p_{k_{m}}([M])}$

называется числом Понтрягина многообразия M по разбиению ${\displaystyle \omega }$ , здесь ${\displaystyle p_{i}}$ обозначают классы Понтрягина.

Несмотря на то что числа Понтрягина формально определяются для гладких многообразий, по теореме Новикова, они являются топологическими инвариантами.

Свойства

• Теорема Понтрягина. Числа Понтрягина двух бордантных (в ориентированном смысле) многообразий равны. Более того
  • Если все числа Понтрягина и Штифеля — Уитни двух ориентированных замкнутых многообразий совпадают, то эти многообразия бордантны (в ориентированном смысле).
• Через числа Понтрягина выражаются сигнатура многообразия то есть сигнатура квадратичной формы пересечений, определенной на ${\displaystyle H^{n/2}(M)}$ , ${\displaystyle n=dimM}$ .
• Через числа Понтрягина выражаются спинорный индекс (${\displaystyle {\hat {A}}}$ -род) замкнутого спинорного многообразия ${\displaystyle M}$ , то есть индекс оператора Дирака на ${\displaystyle M}$ .

Это заготовка статьи по топологии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.