WikiSort.ru - Не сортированное

Постановка задачи

Рассматривается одномерный оператор Шрёдингера вида

${\displaystyle H=-{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}+u(x),\quad x\in \mathbb {R} ,}$

где потенциал ${\displaystyle u(x)}$ определен на множестве действительных чисел как функция, принадлежащая к классу локально интегрируемых. Соответствующая задача нахождения собственных чисел ${\displaystyle \lambda =k^{2}}$ будет иметь вид^[1]

${\displaystyle -\psi (x)''+u(x)\psi (x)=k^{2}\psi (x).}$

Определение

Наложим на потенциал условие в виде

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }(1+|x|)|u(x)|\mathrm {d} x<\infty ,}$

означающее, что функция ${\displaystyle u(x)}$ спадает при ${\displaystyle |x|\to \infty }$ быстрее, чем 1/x². Это означает, что для действительных k существуют решения одномерного уравнения Шрёдингера, однозначно определяемые асимптотиками на бесконечности

${\displaystyle f_{1}(x,k)=e^{-ikx}+o(1),\quad x\to -\infty ,}$

${\displaystyle f_{2}(x,k)=e^{ikx}+o(1),\quad x\to \infty ,}$

называемые решениями Йоста^[1] в честь швейцарского физика Реса Йоста.^[2] В общем случае (так же и для комплексных k) можно показать, что при заданном выше условии на ${\displaystyle u(x)}$ , существует четыре решения одномерного уравнения Шрёдингера, удовлетворяющие интегральным уравнениям

${\displaystyle f_{1}(x,k)=e^{-ikx}-\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u(\xi )f_{1}(\xi ,k)\mathrm {d} \xi ,}$

${\displaystyle {\overline {f_{1}}}(x,k)=e^{-ikx}-\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u(\xi ){\overline {f_{1}}}(\xi ,k)\mathrm {d} \xi ,}$

${\displaystyle f_{2}(x,k)=e^{ikx}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u(\xi )f_{2}(\xi ,k)\mathrm {d} \xi ,}$

${\displaystyle {\overline {f_{2}}}(x,k)=e^{ikx}+\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}}u(\xi ){\overline {f_{2}}}(\xi ,k)\mathrm {d} \xi ,}$

где черта сверху означает комплексное сопряжение. При этом сами функции и их производные по x непрерывны по k при ${\displaystyle \mathrm {I} m\,k\geq 0}$ и аналитичны при ${\displaystyle \mathrm {I} m\,k>0}$ и эти решения единственные.^[3] Уравнения для функций Йоста можно получить непосредственно из граничных условий и уравнения Шрёдингера с помощью функции Грина в виде

${\displaystyle G(x,\xi ,k)=\left\lbrace {\begin{array}{ll}{\frac {\sin k(\xi -x)}{k}},&\xi <x\\0,&\xi >x\end{array}}\right.,}$

или непосредственной подстановкой.^[4]