WikiSort.ru - Не сортированное

Постоянная Эйлера-Маскерони

Для ${\displaystyle a_{n}=1}$ и ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}\,,}$ легко видеть, что ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor ,}$ тогда

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\mathrm {ln} (x)-\int _{1}^{x}{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\mathrm {d} u}$

перенося в левую часть логарифм и преходя к пределу, получаем выражение для постоянной Эйлера-Маскерони:

• ${\displaystyle \gamma =1-\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{2}}}\,du}$ , где ${\displaystyle \left\{t\right\}}$  — дробная часть числа ${\displaystyle t}$ .

Представление дзета-функции Римана

Для ${\displaystyle a_{n}=1}$ и ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,}$ аналогично ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor ,}$ тогда

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u=s(\int _{1}^{\infty }{\frac {u}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u-\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u)=1+{\frac {1}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

Эту формулу можно использовать для определения дзета-функции в области ${\displaystyle \Re (s)>0,}$ поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Кроме того, из неё следует, что ${\displaystyle \zeta (s)}$ имеет простой полюс с вычетом 1 в точке s = 1.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 26 февраля 2017 года.