WikiSort.ru - Не сортированное

Формула площади Гаусса (формула землемера или формула шнурования или алгоритм шнурования) — формула определения площади простого многоугольника, вершины которого заданы декартовыми координатами на плоскости. Пользователь перемножает соответствующие координаты и складывает, чтобы найти область, охватывающую многоугольник, и вычитает его из окружающего многоугольника, чтобы найти площадь многоугольника внутри. Это называется формулой шнурков, так как положительные и отрицательные слагаемые из перемножаемых координат располагаются на бумаге крест-накрест, как при завязке шнурков. Она находит применение в геодезии и лесном хозяйстве, среди других областей.

Формула была описана Мейстером (1724—1788) в 1769 году и Гауссом в 1795. Она может быть проверена путем деления многоугольника на треугольники, но её также можно рассматривать как частный случай теоремы Грина.

Формула определения площади определяется путем взятия каждого ребра многоугольника АВ, и вычисления площади треугольника АВО с вершиной в начале координат О, через координаты вершин. При обходе вокруг многоугольника, образуются треугольники, включающие внутреннюю часть многоугольника и расположенные снаружи его. Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника. Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется если она слева и вычитается если она справа с точки зрения из начала координат.

Формула площади верна для любого самонепересекающегося (простого) многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым.

Определение

Формула может быть представлена следующим выражением:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}\left|\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}y_{i+1}+x_{n}y_{1}-\sum _{i=1}^{n-1}x_{i+1}y_{i}-x_{1}y_{n}\right|\\&={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots +x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-\cdots -x_{n}y_{n-1}-x_{1}y_{n}|\\\end{aligned}}}$

где

• А  — площадь многоугольника,
• n  — количество сторон многоугольника,
• (x_i, y_i), i = 1, 2,…, n — координаты вершин многоугольника.

Другое представление этой же формулы:^[1][2]

${\displaystyle \mathbf {A} ={1 \over 2}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1})\right|={1 \over 2}\left|\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i+1}-x_{i-1})\right|={1 \over 2}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right|={1 \over 2}\left|\sum _{i=1}^{n}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{i+1}&y_{i+1}\end{pmatrix}}\right|}$

где x_n+1 = x₁ и x₀ = x_n, так же как y_n+1 = y₁ и y₀ = y_n.

Если точки пронумерованы последовательно в направлении против часовой стрелки, то детерминанты в формуле выше положительны и модуль в ней может быть опущен; если они пронумерованы в направлении по часовой стрелке, детерминанты будут отрицательными. Это происходит потому, что формула может рассматриваться как частный случай теоремы Грина.

Примеры

Для применения формулы необходимо знать координаты вершин многоугольника в декартовой плоскости. Для примера возьмём треугольник с координатами {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Возьмём первую х -координату первой вершины и умножим её на y -координату второй вершины, а затем умножим х второй вершины на y третьей. Повторим эту процедуру для всех вершин. Результат может быть определен по следующей формуле:^[3]

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{tri.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|}$

где x_i и y_i обозначают соответствующую координату. Эту формулу можно получить, раскрыв скобки в общей формуле для случая n = 3. По этой формуле можно обнаружить, что площадь треугольника равна половине суммы 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, что даёт 3.

Число переменных в формуле зависит от числа сторон многоугольника. Например, в формуле для площади пятиугольника будут использоваться переменные до x₅ и y₅:

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{pent.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|}$

A для четырехугольника — переменные до x₄ и y₄:

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{quad.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4}|}$

Более сложный пример

Рассмотрим многоугольник, представленный на рисунке и заданный точками (3,4), (5,11), (12,8), (9,5), (5,6):

Площадь этого многоугольника:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}|3\times 11+5\times 8+12\times 5+9\times 6+5\times 4\\&{}\qquad {}-4\times 5-11\times 12-8\times 9-5\times 5-6\times 3|\\[10pt]&={60 \over 2}=30\end{aligned}}}$

Объяснение названия

Причина того, что эта формула называется формулой шнурков, из-за общего метода, используемого для её вычисления. Этот метод использует матрицу. В качестве примера, возьмём треугольник с вершинами (2,4), (3,-8), и (1,2). Затем построим следующую матрицу, «обходя вокруг» треугольника и заканчивая начальной точкой:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&4\\3&-8\\1&2\\2&4\end{bmatrix}}}$

Сначала проведём диагональ вниз и вправо косой чертой, как показано ниже:

и перемножим пары чисел, соединённых чертой, а затем сложим все суммы: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6. Сделаем то же самое, проводя косую черту по диагонали вниз и влево, как показано ниже:

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8. Затем вычтем сумму второй группы из первой и возьмём модуль: |(−6) − (8)| = 14. Деление результата на два дает площадь.

Организация чисел в матрицу с диагональными линиями упрощает запоминание формулы.

В результате проделанной операции с рисованием диагональных (косых) линий матрица с числами напоминает зашнурованную обувь, отсюда и происходит название «алгоритма шнурования».

См. также

• Планиметр
• Теорема Грина

Примечания

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.