WikiSort.ru - Не сортированное

В планиметрии внешняя и внутренняя точки Вектена — точки, которые строятся на основе данного треугольника аналогично первой и второй точкам Наполеона. Однако для построения выбираются центры не равносторонних треугольников, а квадратов, построенных на сторонах данного треугольника (см. рис.).

Внешняя точка Вектена

Пусть ABC — произвольный треугольник. На его сторонах BC, CA, AB наружу построим три квадрата соответственно с центрами ${\displaystyle O_{a},O_{b},O_{c}}$ . Тогда линии ${\displaystyle AO_{a},BO_{b}}$ и ${\displaystyle CO_{c}}$ пересекаются в одной точке, называемой внешней точкой Вектена треугольника ABC.

В Энциклопедии центров треугольника внешняя точка Вектена обозначается как X(485)^[1].

Внутренняя точка Вектена

Пусть ABC — произвольный треугольник. На его сторонах BC, CA, AB наружу построим три квадрата соответственно с центрами ${\displaystyle I_{a},I_{b},I_{c}}$ . Тогда линии ${\displaystyle AI_{a},BI_{b}}$ и ${\displaystyle CI_{c}}$ пересекаются в одной точке, называемой внутренней точкой Вектена треугольника ABC. В Энциклопедии центров треугольника внутренняя точка Вектена обозначается как X(486)^[1].

Прямая ${\displaystyle X(485)X(486)}$ пересекает прямую Эйлера в Центре девяти точек треугольника ${\displaystyle ABC}$ . Точки Вектена лежат на гиперболе Киперта.

Положение на гиперболе Киперта

Координаты внешней и внутренней точек Вектена получаются из уравнения гиперболы Киперта при значениях угла ${\displaystyle \theta }$ при основаниях треугольников соответственно π/4 и -π/4.

Трилинейные и барицентрические координаты

Точки Вектена (${\displaystyle X_{485}}$ и ${\displaystyle X_{486}}$ )
Трилинейные координаты	${\displaystyle \sec \left(\alpha \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:\,\sec \left(\beta \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:\,\sec \left(\gamma \pm {\frac {\pi }{4}}\right)}$
Барицентрические координаты	${\displaystyle \sin \alpha \cdot \sec \left(\alpha \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:\,\sin \beta \cdot \sec \left(\beta \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:\,\sin \gamma \cdot \sec \left(\gamma \pm {\frac {\pi }{4}}\right)}$
знак «плюс» применяется для внешней точки Вектена. а знак «минус» для внутренней точки.

Ассоциации

Рисунок выше для построения внешней точки Вектена в случае, если оно проводится для прямоугольного треугольника совпадает с рисунком одного из доказательств теоремы Пифагора (см. на рис. ниже так называемые пифагоровы штаны).

См. также

• Точки Наполеона — пара треугольных центров, построенных аналогичным образом с использованием равносторонних треугольников вместо квадратов

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Vecten Points (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.