WikiSort.ru - Не сортированное

Аффинный случай

Пусть ${\displaystyle T}$  — ${\displaystyle n}$ -мерный тор,

${\displaystyle N=Hom(\mathbb {C} ,T)\cong \mathbb {Z} ^{n}}$

— свободная абелева группа, называемая решёткой однопараметрических подгрупп, а

${\displaystyle M=Hom(T,\mathbb {C} )\cong Hom(N,\mathbb {Z} )\cong Z^{n}}$

— двойственная абелева группа, называемая решёткой мономов. Предположим, что в векторном пространстве ${\displaystyle N_{\mathbb {R} }=N\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ задан конус ${\displaystyle \sigma }$ , который является строго выпуклым (то есть не содержит одновременно ненулевых векторов ${\displaystyle v}$ и ${\displaystyle (-v)}$ ) и порождён конечным числом рациональных векторов (векторов из ${\displaystyle N_{\mathbb {Q} }=N\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ ) как выпуклый конус. Возьмём двойственный конус ${\displaystyle \sigma ^{*}}$ , лежащий в двойственном пространстве ${\displaystyle M_{\mathbb {R} }}$ , и пересечём с решёткой ${\displaystyle M=Hom(T,\mathbb {C} )}$ . Элементы этой решётки можно рассматривать как мономы из алгебры ${\displaystyle \mathbb {C} [T]}$ , получив таким образом подалгебру ${\displaystyle \mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]}$ . Аффинным торическим многообразием ${\displaystyle X_{\sigma }}$ , соответствующим конусу ${\displaystyle \sigma }$ , называется спектр этой алгебры.

При этом действие тора ${\displaystyle T}$ на себе умножением продолжается на ${\displaystyle X_{\sigma }}$ благодаря тому, что алгебра ${\displaystyle \mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]}$ порождена мономами. Из-за строгой выпуклости конуса отображение ${\displaystyle T\to X_{\sigma }}$ , двойственное к вложению ${\displaystyle \mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]\to \mathbb {C} [T]}$ , является открытым вложением. Поскольку конус порождён конечным числом рациональных векторов, Лемма Гордана^[en] утверждает, что алгебра ${\displaystyle \mathbb {C} [\sigma ^{*}\cap M]}$ конечно-порождена, то есть её спектр является многообразием.

Склейка

Необходимость перехода к двойственному конусу объясняется тем, что тогда становится возможным склейка конусов в веер.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.