Теорема Шпильрайна — одна из центральных теорем теории упорядоченных множеств, впервые сформулированная и доказанная польским математиком Эдвардом Шпильрайном в 1930 году.
Любое отношение частичного порядка , заданное на некотором множестве , может быть продолжено до отношения линейного порядка.
Доказательство теоремы основано на применении аксиомы выбора (леммы Куратовского — Цорна).
Бен Душник и Б. У. Миллер доказали, что каждое отношение частичного порядка является пересечением содержащих его отношений линейного порядка.
Обобщения теоремы Шпильрайна на случай, когда отношения частичного порядка и продолжающие их отношения линейного порядка, согласованы с алгебраическими операциями групп, колец и других алгебраических систем, на которых заданы эти отношения, рассматривались венгерским математиком Ласло Фуксом. В частности, теорема Фукса гласит, что частичный порядок группы тогда и только тогда может быть продолжен до линейного порядка группы , когда он удовлетворяет следующему условию:
для каждого конечного множества элементов в ( ) можно так подобрать знаки ( или ), что
Здесь
Частичный порядок абелевой группы может быть продолжен до линейного тогда и только тогда, когда она без кручения, то есть все её элементы, кроме нейтрального бесконечного порядка.
Теорема Душника — Миллера в этом случае обобщается следующим образом: частичный порядок группы тогда и только является пересечением линейных порядков, когда из следует, что для каждого конечного множества элементов в ( ) существуют такие подходящие знаки ( или ), что
Частичный порядок абелевой группы является пересечением линейных порядков тогда и только тогда, когда изолирован, то есть из для некоторого натурального числа следует .
Любое отношение частичного порядка, заданное на векторном пространстве и согласованное с его структурой, может быть продолжено до согласованного отношения линейного порядка.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .