WikiSort.ru - Не сортированное

В математике теорема Харди — Рамануджана^[1] утверждает, что скорость роста числа ${\displaystyle \omega (n)}$ различных простых делителей числа ${\displaystyle n}$ определяется функцией повторного логарифма — ${\displaystyle \log(\log(n))}$ , а «разброс» числа делителей — квадратным корнем этой функции.

Теорема

Пусть действительная функция ${\displaystyle f(n)}$ такова, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(n)=\infty }$ , и пусть ${\displaystyle g(x)}$  — число натуральных чисел ${\displaystyle n<x}$ , для которых выполнено следующее неравенство

${\displaystyle |\omega (n)-\log(\log(n))|<f(n){\sqrt {\log(\log(n))}}}$

или более традиционно

${\displaystyle |\omega (n)-\log(\log(n))|<{(\log(\log(n)))}^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }}$ , где ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Тогда

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {g(x)}{x}}=1}$

Простое доказательство этой теоремы нашел Пал Туран.

Обобщения и усиления

Такой же результат верен и для числа всех простых сомножителей в разложении числа ${\displaystyle n}$ .

Эта теорема обобщается теоремой Эрдёша — Каца, в которой доказывается, что распределение различных простых делителей натуральных чисел является нормальным со «средним» и «дисперсией» равными ${\displaystyle \log(\log(n))}$ . Таким образом, имеется некоторая связь между распределением числа простых делителей и предельными законами теории вероятностей — центральной предельной теоремой и законом повторного логарифма.

Примечания