WikiSort.ru - Не сортированное

Доказательство иррациональности √2

Предположим, что ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  — рациональное число. Это означает, что его можно записать в следующем виде:

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}},}$

для некоторых натуральных чисел ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ . Тогда квадрат этого числа равен

${\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}}$

${\displaystyle 2q^{2}=p^{2},}$

Это означает, что ${\displaystyle p}$  — чётное число. Пусть ${\displaystyle p=2r}$ и

${\displaystyle \displaystyle p^{2}=(2r)^{2}=4r^{2}.}$

Подставляем ${\displaystyle 4r^{2}}$ вместо ${\displaystyle p^{2}}$ :

${\displaystyle 2q^{2}=4r^{2},}$

Делим на 2 обе части:

${\displaystyle q^{2}=2r^{2},}$

значит, ${\displaystyle q}$  — чётное число. Таким образом, исходные числа ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ можно одновременно разделить на 2 и получить другое представление ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ . С полученными числами можно проделать ту же операцию, и так далее бесконечное число раз. Таким образом строится бесконечно убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно. Значит, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ не является рациональным числом. Следовательно, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ иррационален.