WikiSort.ru - Не сортированное

В теории меры теорема Каратеодори утверждает, что произвольная (счётно-аддитивная) мера на некотором кольце ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ подмножеств множества ${\displaystyle X}$ может быть продлена на σ-кольцо, порожденное кольцом ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ . В случае σ-конечности меры такое продолжение является единственным. Из теоремы в частности вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега.

Утверждение

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ — кольцо на множестве ${\displaystyle \Omega }$ и ${\displaystyle \mu :{\mathcal {R}}\to [0,+\infty ]}$ — мера на ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ . Теорема Каратеодори утверждает, что существует мера ${\displaystyle \mu ':\sigma ({\mathcal {R}})\to [0,+\infty ]}$ , такая, что ${\displaystyle \mu '}$ является продолжением ${\displaystyle \mu }$ . (То есть, ${\displaystyle \mu '_{|_{R}}=\mu }$ ).

Здесь ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$  — ${\displaystyle \sigma }$ -кольцо, порожденное ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ .

Если мера ${\displaystyle \mu }$ σ-конечна, то ${\displaystyle \mu '}$ является единственной и также σ-конечной.

Построение продолжения

Пусть ${\displaystyle \mu }$  — мера, определенная на кольце ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ подмножеств множества ${\displaystyle \Omega }$ .

Тогда можно определить ${\displaystyle \mu ^{*}}$  — функцию, определенную на ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(\Omega )}$ так:

${\displaystyle \mu ^{*}(A)=\mathrm {inf} \{\sum _{k=1}^{+\infty }\mathrm {\mu } \,(E_{k})\,\mid \,E_{k}\in {\mathcal {R}},\,A\subset \bigcup _{k=1}^{+\infty }E_{k}\}.}$

Данная функция является внешней мерой, порожденной мерой ${\displaystyle \mu }$ . Обозначим ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ семейство подмножеств ${\displaystyle A}$ множества ${\displaystyle \Omega }$ , для которых выполняется: Для всех ${\displaystyle E\subset \Omega }$ , ${\displaystyle \mu ^{*}(E\cap A)+\mu ^{*}(E\setminus A)=\mu ^{*}(E)}$ .

Тогда ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ является σ-кольцом, и на нем можно определить меру ${\displaystyle {\overline {\mu }}(A)=\mu ^{*}(A)}$ для всех ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}_{\mu }}$ . Определенная таким образом функция является мерой, которая совпадает с ${\displaystyle \mu }$ на множествах кольца ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ . Также ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ содержит σ-алгебру ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ и сужение ${\displaystyle {\overline {\mu }}}$ на элементы ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ и будет необходимым расширением меры.

σ-кольцо ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ является пополнением кольца ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ , соответственно, они совпадают, если определенная мера на ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {R}})}$ является полной.

Примеры

• Если на действительной прямой взять полукольцо ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ интервалов ${\displaystyle [a,b],\quad a<b}$ , где мера ${\displaystyle [a,b]}$ равна (b-a), то представленная конструкция дает определение меры Бореля на борелевских множествах ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {S}})}$ . Множеству ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mu }}$ здесь соответствует множество измеримых по Лебегу множеств.
• Условие σ-конечности является необходимым для единственности продолжения. Например, на множестве ${\displaystyle X}$ всех рациональных чисел промежутка [0 , 1] можно задать полукольцо промежутков с рациональными концами [a, b), где a < b — рациональные числа из промежутка [0 , 1]. σ-кольцо, порожденное этим полукольцом, является множеством всех подмножеств ${\displaystyle X}$ . Задав теперь ${\displaystyle \mu (A)}$ , равное количеству элементов A и ${\displaystyle \mu ^{'}(A)=2\mu (A)}$ , имеем, что обе меры совпадают на полукольце и порожденном кольце (поскольку все непустые множества полукольца и кольца являются безграничными, то обе меры на всех этих множествах равны ${\displaystyle \infty }$ ), но не совпадают на порожденном σ-кольце. То есть в данном случае продолжение не является единственным.

Литература

• Халмош П. Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
• Дороговцев А. Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать список литературы.