WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Каратеодори о выпуклой оболочке утверждает, что для любой точки выпуклой оболочки подмножества евклидового пространства найдётся содержащий её невырожденный симплекс с вершинами в этом подмножестве.

Другая формулировка: Выпуклая оболочка конечномерного компакта — компакт^[1].

Формулировка теоремы

Пусть ${\displaystyle A\subset R^{m}}$  — компакт в m-мерном евклидовом пространстве. Тогда ${\displaystyle \forall x\in co\ A}$ (выпуклая оболочка A) является выпуклой комбинацией не более чем m + 1 точек множества ${\displaystyle A}$ ^[2]:

${\displaystyle co\ A=\left\{x:x=\sum _{i=1}^{m+1}\lambda _{i}x_{i}(x),\quad x_{i}(x)\in A,\quad \lambda _{i}\geqslant 0,\quad \sum _{i=1}^{m+1}\lambda _{i}=1,\quad i=1,\ 2,\ \dots ,\ m+1\right\}}$

Связанные результаты

В случае, когда одна из координат точки ${\displaystyle x\in co\ A}$ достигает экстремального значения (для множества A), эта точка может быть представлена как выпуклая комбинация не более чем m точек A^[2].

С теоремой Каратеодори о выпуклой оболочке связана также теорема Хелли^[2].

Примечания

Литература

• Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. — М.: «Советское радио», 1974. — 400 с.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Добавить иллюстрации.