Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.
Формулировка
Пусть дано пространство с конечной мерой
так, что
, и определённая на нём последовательность измеримых функций
, сходящаяся почти всюду к
. Тогда
такое, что
, и последовательность
равномерно сходится к
на
.
Замечания
- Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
- Конечность
принципиальна. Пусть, например,
, где
— борелева σ-алгебра на
, а
— мера Лебега. Заметим, что
. Пусть
, где
обозначает индикатор-функцию множества
. Тогда
сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.
Литература
- Dmitri Egoroff, Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris,(1911) 152:135–157.
- Богачев В. И., К истории открытия теорем Егорова и Лузина, Историко-математические исследования, вып. 48 (13), 2009.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .